Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже>
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.
В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.
К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fэjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.
Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monРj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh НJetoV), а точка (stigmя) - как
единица, имеющая положение (monНV JЪsin Ьcousa)61.
Открытие
несоизмеримости
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.
Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и EMBED Equation.2 ,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.
Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность
EMBED Equation.2 , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - КriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.
Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.
Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.
Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.
Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.
Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.
Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.
Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.
В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.
К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fэjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.
Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monРj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh НJetoV), а точка (stigmя) - как
единица, имеющая положение (monНV JЪsin Ьcousa)61.
Открытие
несоизмеримости
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.
Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и EMBED Equation.2 ,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.
Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность
EMBED Equation.2 , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - КriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.
Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.
Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.
Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.
Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.
Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.
Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.
Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107