У Прокла в комментарии к Евклиду
первая группа положений называется также гипотезами (Зp"JesiV), а третья
группа положений носит название аксиомы (Кxiиmata).
На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются
определения от постулатов и аксиом?
Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их
именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь
могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9,
13, 14) вводятся исходные понятия геометрии - точка, линия, прямая линия,
поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат
определения основных геометрических фигур - прямого, тупого и острого
углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных
прямых.
Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, "с
древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были
предметом критики". Приведем главнейшие из определений этой первой группы.
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
3. Концы же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на
ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности - линии.
Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем
своем рассуждении: "Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией,
счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им
известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же
роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать
в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно".
Таким образом, термин "roi, или ЙpoJЪseiV, переводимый на русский язык как
"определения", означает скорее "гипотезы", т.е. предположения, допущения,
которые далее не доказываются. Как поясняет Аристотель, определения "ничего
не говорят о том, существует ли данный предмет или нет", и это, надо
полагать, их специфическое отличие от постулатов. Точно так же ничего не
говорят о существовании определяемого предмета и аксиомы, т.е. "общие
понятия".
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть
отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то
Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я.
Выгодский.
Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого
ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения
имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты,
аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-ъ и 8-я) могут иметь значение и для
геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие
подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в
начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они
предпосылаются сразу ко всем книгам.
По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В "Аналитике
второй" читаем: "Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках,
одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем...
Свойственным <лишь одной науке> является, например, то, что линия -
такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного
отнять равные <части>, то остаются равные же <части>. Каждым из таких
<общих положений> можно пользоваться, поскольку оно относится к роду,
подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не
брать его для всего <подходящего>, но <в геометрии> - в отношении величин,
а в арифметике - в отношении чисел". И действительно, аксиомы у Евклида
формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в
начале каждой книги.
Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин
aДtяmata означает "требования". Постулаты, как и аксиомы, имеют общее
значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг
Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества
постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего
времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная
литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.
Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка,
который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский,
"соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно,
совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно
думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал".
Вот их список.
Требования
1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.
2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.
4. И что все прямые углы равны.
5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых
углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с
той стороны, с которой углы меньше двух прямых".
Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом
Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит,
что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...юоложение, что
все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое
положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими
прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых,
то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат
углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это
положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в
качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет
некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых,
исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению,
положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две
прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь
некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к
геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
первая группа положений называется также гипотезами (Зp"JesiV), а третья
группа положений носит название аксиомы (Кxiиmata).
На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются
определения от постулатов и аксиом?
Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их
именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь
могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9,
13, 14) вводятся исходные понятия геометрии - точка, линия, прямая линия,
поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат
определения основных геометрических фигур - прямого, тупого и острого
углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных
прямых.
Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, "с
древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были
предметом критики". Приведем главнейшие из определений этой первой группы.
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
3. Концы же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на
ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности - линии.
Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем
своем рассуждении: "Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией,
счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им
известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же
роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать
в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно".
Таким образом, термин "roi, или ЙpoJЪseiV, переводимый на русский язык как
"определения", означает скорее "гипотезы", т.е. предположения, допущения,
которые далее не доказываются. Как поясняет Аристотель, определения "ничего
не говорят о том, существует ли данный предмет или нет", и это, надо
полагать, их специфическое отличие от постулатов. Точно так же ничего не
говорят о существовании определяемого предмета и аксиомы, т.е. "общие
понятия".
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть
отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то
Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я.
Выгодский.
Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого
ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения
имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты,
аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-ъ и 8-я) могут иметь значение и для
геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие
подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в
начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они
предпосылаются сразу ко всем книгам.
По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В "Аналитике
второй" читаем: "Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках,
одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем...
Свойственным <лишь одной науке> является, например, то, что линия -
такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного
отнять равные <части>, то остаются равные же <части>. Каждым из таких
<общих положений> можно пользоваться, поскольку оно относится к роду,
подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не
брать его для всего <подходящего>, но <в геометрии> - в отношении величин,
а в арифметике - в отношении чисел". И действительно, аксиомы у Евклида
формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в
начале каждой книги.
Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин
aДtяmata означает "требования". Постулаты, как и аксиомы, имеют общее
значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг
Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества
постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего
времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная
литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.
Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка,
который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский,
"соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно,
совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно
думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал".
Вот их список.
Требования
1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.
2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.
4. И что все прямые углы равны.
5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых
углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с
той стороны, с которой углы меньше двух прямых".
Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом
Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит,
что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...юоложение, что
все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое
положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими
прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых,
то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат
углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это
положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в
качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет
некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых,
исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению,
положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две
прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь
некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к
геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107