Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и
постулатов - различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла
можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые
ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине
отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и
о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он
постулатами не считает. В то же времъ Прокл не согласен считать аксиомой
положение 9, относимое, как он говорит, "некоторыми" к аксиомам: ведь оно
трактует о поверхности (пространстве) и тем самым "принадлежит к
геометрической материи". Заметим характерное выражение: геометрическая
материя.
Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы - от
проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи
(проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур,
разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать
(vornehmen); последние указывают существенные свойства... Если кто-то
формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он
говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний
треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить
равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и
неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-ъ), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом,
учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с
Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в
геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что
спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше
между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства
существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, -
утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его,
Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном
существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это
построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно
поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних
треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их
существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о
построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого
построения".
Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения
платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же
равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения,
ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а
Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается
названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим
образом: "Основное значение геометрического построения заключается в
доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению
которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам
Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства
существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство
существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой,
третий - круга.
И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином
"придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften)
приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются
непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует
становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает
становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как,
например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с
данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все
есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а
познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся,
поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем.
Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать
весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107