Нам думается, что хотя термины эти
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими
фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки? Почему только мы
одни из всех живых существ по своей природе можем иметь такое понятие?..
Нам впервые привил Бог понимание того, что нам показывают, а затем он
показал нам число и показывает до сих пор. Происходит беспрестанная смена
многих ночей и дней. Небо совершает это беспрестанно, научая людей понятию
о единице и двойке, так что, наконец, и самый неспособный человек
оказывается в состоянии усвоить счет. Созерцая это, каждый из нас может
получить понятие о числах "три", "четыре" и о множественности".
Счет, таким образом, есть нечто священное уже потому, что ему нас научило
Небо. То, что математика на Востоке с самых древних времен связана была с
астрономией, в этом нет сомнения, и это, собственно, Платон и имеет в виду.
Однако математика, как и астрономия, была связана и с практическими
нуждами, но эту ее функцию Платон, как мы уже видели, считает производной и
второстепенной.
Дарованная нам Небом наука о числе, согласно Платону, не может содержать в
себе ничего дурного, отрицательного. Вот отрывок, где дается ценностная
характеристика числа: "Что число не вызывает ничего дурного, это легко
распознать, как это вскоре и будет сделано. Ведь чуть ли не любое нечеткое,
беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все,
что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого бы то ни было числа.
Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить
свои дни. Точно так же никто, не познав [числа], никогда не сможет обрести
истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах
и расчислить это для самого себя и для того, чтобы убедить другого" (курсив
мой. - П.Г.).
Таким образом, число внутренне связано с прекрасным, благим и священным, а
потому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям. Именно с
понятием числа Платон связывает порядок, упорядоченность, ритм, склад
(лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это - атрибуты
не только прекрасного, но и доброго, благого, оно же и истинное. Поэтому в
самом числе выделяется и подчеркивается прежде всего то, что несет эти
атрибуты.
Первой среди математических наук Платон считает арифметику. Арифметика,
"главная и первая из наук - это наука о самих числах, но не о тех, что
имеют предметное выражение, а вообще о зарождении понятий "чет" и "нечет" и
о том значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это
усвоил, тот может перейти к тому, что носит весьма смешное имя геометрии.
На самом деле ясно, что это наука о том, как выразить на плоскости числа,
по природе своей неподобные".
Два числа, ab и cd, называются подобными в том случае, если их множители -
"стороны" (как говорят античные математики, тем самым указывая на то, что
число мыслится ими геометрически) - пропорциональны, т.е. a:c = b:d. Если
же числа оказываются неподобными, то их можно уподобить, представив как
площади подобных прямоугольников; задача уподобления двух чисел ab и cd
предстает тогда как задача нахождения средних пропорциональных m и l, так
что площади ab и cd относятся как m2:l2. Таким образом, задача нахождения
средних пропорциональных с целью "уподобления" чисел мыслится Платоном как
центральная проблема геометрии. Установление пропорциональных отношений,
как видим, оказывается не одной из задач математики наряду с прочими, а
центральной ее темой.
"Вслед за этой наукой идет еще одна, ей подобная: люди, ею занимающиеся,
также назвали ее геометрией. Наука эта изучает тела, имеющие три измерения
и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные,
приводимые к подобию с помощью искусства".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими
фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки? Почему только мы
одни из всех живых существ по своей природе можем иметь такое понятие?..
Нам впервые привил Бог понимание того, что нам показывают, а затем он
показал нам число и показывает до сих пор. Происходит беспрестанная смена
многих ночей и дней. Небо совершает это беспрестанно, научая людей понятию
о единице и двойке, так что, наконец, и самый неспособный человек
оказывается в состоянии усвоить счет. Созерцая это, каждый из нас может
получить понятие о числах "три", "четыре" и о множественности".
Счет, таким образом, есть нечто священное уже потому, что ему нас научило
Небо. То, что математика на Востоке с самых древних времен связана была с
астрономией, в этом нет сомнения, и это, собственно, Платон и имеет в виду.
Однако математика, как и астрономия, была связана и с практическими
нуждами, но эту ее функцию Платон, как мы уже видели, считает производной и
второстепенной.
Дарованная нам Небом наука о числе, согласно Платону, не может содержать в
себе ничего дурного, отрицательного. Вот отрывок, где дается ценностная
характеристика числа: "Что число не вызывает ничего дурного, это легко
распознать, как это вскоре и будет сделано. Ведь чуть ли не любое нечеткое,
беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все,
что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого бы то ни было числа.
Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить
свои дни. Точно так же никто, не познав [числа], никогда не сможет обрести
истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах
и расчислить это для самого себя и для того, чтобы убедить другого" (курсив
мой. - П.Г.).
Таким образом, число внутренне связано с прекрасным, благим и священным, а
потому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям. Именно с
понятием числа Платон связывает порядок, упорядоченность, ритм, склад
(лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это - атрибуты
не только прекрасного, но и доброго, благого, оно же и истинное. Поэтому в
самом числе выделяется и подчеркивается прежде всего то, что несет эти
атрибуты.
Первой среди математических наук Платон считает арифметику. Арифметика,
"главная и первая из наук - это наука о самих числах, но не о тех, что
имеют предметное выражение, а вообще о зарождении понятий "чет" и "нечет" и
о том значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это
усвоил, тот может перейти к тому, что носит весьма смешное имя геометрии.
На самом деле ясно, что это наука о том, как выразить на плоскости числа,
по природе своей неподобные".
Два числа, ab и cd, называются подобными в том случае, если их множители -
"стороны" (как говорят античные математики, тем самым указывая на то, что
число мыслится ими геометрически) - пропорциональны, т.е. a:c = b:d. Если
же числа оказываются неподобными, то их можно уподобить, представив как
площади подобных прямоугольников; задача уподобления двух чисел ab и cd
предстает тогда как задача нахождения средних пропорциональных m и l, так
что площади ab и cd относятся как m2:l2. Таким образом, задача нахождения
средних пропорциональных с целью "уподобления" чисел мыслится Платоном как
центральная проблема геометрии. Установление пропорциональных отношений,
как видим, оказывается не одной из задач математики наряду с прочими, а
центральной ее темой.
"Вслед за этой наукой идет еще одна, ей подобная: люди, ею занимающиеся,
также назвали ее геометрией. Наука эта изучает тела, имеющие три измерения
и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные,
приводимые к подобию с помощью искусства".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107