Очень характерны в
этом отношении те определения, которые дает точке Прокл в комментариях к
Евклиду. Говоря о том, что точка - это монада, наделенная положением, Прокл
замечает, что благодаря этой наделенности положением она Щn fantasЕa
proteinetai (простирается в воображении), а потому точка Ьnul'n Щsti katЪ
tґn nohtґn Зlhn (оматериалена через интеллигибельную материю) и в этом
смысле есть нечто swmatoeidhV (теловидное).
Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она соединится с
интеллигибельной материей - пространством? Двойка - это "единое и иное",
это начало различия, когда единое перестает быть абсолютно единым и
вступает в контакт с иным. Строго говоря, когда единица становится
пространственной, т.е. вступает в контакт "с положением", а значит, с
"иным", чем она сама, она уже двойка. И действительно, со стороны того
определения, которое она получает от этого контакта, от "положения"
(пространственности), она есть движущееся; а движущаяся точка - это линия.
(Правда, не будем забывать, что со стороны первого своего определения -
единицы - точка есть граница, т.е. нечто устойчивое, неподвижное,
закрепляющее.)
Но можно провести рассуждение и иначе. Если взять двойку не со стороны
"материи" (движущаяся точка), а со стороны ее числово-идеального "отца", то
она есть две единицы. Две единицы, соединившиеся с пространством (т.е. с
положением), будут двумя точками. Линия со стороны числа, т.е. своего
логического, а не пространственного происхождения, определяется через "две
точки". Таково ее определение у Евклида: "Концы же линии - точки" (кн. I,
определение 3). Вот почему среди греческих математиков само собой
разумелось, что линия - это двойка. Через двойку далее можно определять
линию не только логически, но и "в воображении", т.е. погружая "двойку" в
"интеллигибельную материю"; такое определение, однако, в отличие от первого
будет включать в себя движение (cЕnhsiV fantasticя), а потому будет не
логическим определением, а требованием осуществить некоторое действие -
постулатом. Первый постулат Евклида гласит: "Требуется, чтобы можно было
через всякие две точки провести прямую".
Займемся теперь тройкой. В сущности, тройка у Платона является первым
числом: ведь единица и "неопределенная двоица" - это скорее "начала" чисел,
чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки,
т.е. начала ограничивающего и безгранично-неопределенного. Двойка,
выражающая начало "различия", соединившись с материей-пространством,
предстает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки,
как мы знаем еще из разбора пифагорейской математики, нет "середины",
которая "удержала" бы ее "концы", "скрепила" бы их друг с другом. В тройке
эта середина налицо, а потому тройка - нечетное число - устойчива и довлеет
себе. Но как в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой?
Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем
самым мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению трех
единиц или двойки и единицы. В результате мы получим новый геометрический
объект - треугольник. (Построение правильного, т.е. равностороннего
треугольника на данной ограниченной прямой, или операция нахождения точки,
равноотстоящей от двух других точек ("концов" прямой) - первая теорема I
книги "Начал" Евклида.)
В результате соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве)
прямая больше уже не может неограниченно продолжаться в обе стороны: третья
точка "держит" оба ее конца. Как "тройка" - первое настоящее число, так и
треугольник - первая пространственная фигура: точка и линия - это элементы,
"начала", из которых строятся геометрические фигуры.
При этом "переведении" чисел в пространство каждое новое число представляет
пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений ("не
имеет частей"); двойка имеет одно измерение - "длину без ширины" ("Начала"
Евклида, кн. I, определение 2); тройка имеет два измерения - длину и
ширину. Треугольник, таким образом, есть "первая" (не во временн(м, а в
логическом смысле) плоскость, ибо тройка означает два измерения.
Наконец, четверка, соединившись с "материей" пространства, даст в
результате три измерения. Если возьмем точку, лежащую вне нашего
треугольника, и соединим ее с вершинами последнего, то получим уже
трехмерное тело - пирамиду (тетраэдр), которая будет парадигмой, образцом
объемных образований, "первым телом" опять-таки в логическом плане. Подобно
тому как идеи у Платона являются идеальными образцами чувственных вещей,
точно так же треугольник и пирамида являются у него промежуточными - не
идеальными, но и не чувственно-телесными - образцами всех двухмерных
(плоскостных) и трехмерных (объемных) объектов. И если мы будем называть
это "промежуточное" начало, эту "интеллигибельную материю" пространством,
то, стало быть, треугольник - это "первая", исходная, элементарная
"клеточка" тела.
Но это не значит, что плоскость "складывается" из треугольников наподобие
того, как одеяло сшивается из лоскутов. Отношение "образца" к тому,
образцом чего оно является, иное, чем отношение атома к составленным из
атомов телам. Как писал неоплатоник эпохи Возрождения Марсилио Фичино, "при
построении правильных тел из элементарных треугольников имеется в виду не
столько слагать их, сколько сравнивать друг с другом (comparanda haec inter
se potius quam componenda)".
Итак, относительно онтологического статуса геометрических объектов мы можем
теперь сказать следующее: Платон исходит из различения трех видов
реальности. "Есть бытие, есть пространство и есть возникновение". "Бытие" -
это сфера идеального, куда Платон относит и числа; все идеальное
постигается умом, и о нем возможно истинное знание - эпист(ме.
"Возникновение" - это сфера чувственного "бывания", она дана чувственному
восприятию, и о ней возможно иметь лишь мнение в его двух видах - веры и
уподобления. "Пространство" - это нечто такое, что нельзя назвать ни
идеальным в строгом смысле, ни чувственным; оно смутно и неопределенно,
познается с помощью "незаконнорожденного рассуждения", т.е. воображения,
как позднее определил Прокл. Объекты геометрии, однако, связаны с этим
промежуточным родом бытия, хотя и не определяются только им одним.
Поскольку они "воображаются", т.е. поскольку точка "движется" в
воображаемом пространстве, они определяются этим последним. Поскольку же
всякий геометрический объект (треугольник, квадрат, круг и т.д.)
представляет собой некоторое число или числовое отношение, постольку он
определяется не через пространство, а идеально, логически. Геометрические
объекты, стало быть, тоже можно рассматривать как "гибриды":
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
этом отношении те определения, которые дает точке Прокл в комментариях к
Евклиду. Говоря о том, что точка - это монада, наделенная положением, Прокл
замечает, что благодаря этой наделенности положением она Щn fantasЕa
proteinetai (простирается в воображении), а потому точка Ьnul'n Щsti katЪ
tґn nohtґn Зlhn (оматериалена через интеллигибельную материю) и в этом
смысле есть нечто swmatoeidhV (теловидное).
Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она соединится с
интеллигибельной материей - пространством? Двойка - это "единое и иное",
это начало различия, когда единое перестает быть абсолютно единым и
вступает в контакт с иным. Строго говоря, когда единица становится
пространственной, т.е. вступает в контакт "с положением", а значит, с
"иным", чем она сама, она уже двойка. И действительно, со стороны того
определения, которое она получает от этого контакта, от "положения"
(пространственности), она есть движущееся; а движущаяся точка - это линия.
(Правда, не будем забывать, что со стороны первого своего определения -
единицы - точка есть граница, т.е. нечто устойчивое, неподвижное,
закрепляющее.)
Но можно провести рассуждение и иначе. Если взять двойку не со стороны
"материи" (движущаяся точка), а со стороны ее числово-идеального "отца", то
она есть две единицы. Две единицы, соединившиеся с пространством (т.е. с
положением), будут двумя точками. Линия со стороны числа, т.е. своего
логического, а не пространственного происхождения, определяется через "две
точки". Таково ее определение у Евклида: "Концы же линии - точки" (кн. I,
определение 3). Вот почему среди греческих математиков само собой
разумелось, что линия - это двойка. Через двойку далее можно определять
линию не только логически, но и "в воображении", т.е. погружая "двойку" в
"интеллигибельную материю"; такое определение, однако, в отличие от первого
будет включать в себя движение (cЕnhsiV fantasticя), а потому будет не
логическим определением, а требованием осуществить некоторое действие -
постулатом. Первый постулат Евклида гласит: "Требуется, чтобы можно было
через всякие две точки провести прямую".
Займемся теперь тройкой. В сущности, тройка у Платона является первым
числом: ведь единица и "неопределенная двоица" - это скорее "начала" чисел,
чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки,
т.е. начала ограничивающего и безгранично-неопределенного. Двойка,
выражающая начало "различия", соединившись с материей-пространством,
предстает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки,
как мы знаем еще из разбора пифагорейской математики, нет "середины",
которая "удержала" бы ее "концы", "скрепила" бы их друг с другом. В тройке
эта середина налицо, а потому тройка - нечетное число - устойчива и довлеет
себе. Но как в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой?
Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем
самым мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению трех
единиц или двойки и единицы. В результате мы получим новый геометрический
объект - треугольник. (Построение правильного, т.е. равностороннего
треугольника на данной ограниченной прямой, или операция нахождения точки,
равноотстоящей от двух других точек ("концов" прямой) - первая теорема I
книги "Начал" Евклида.)
В результате соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве)
прямая больше уже не может неограниченно продолжаться в обе стороны: третья
точка "держит" оба ее конца. Как "тройка" - первое настоящее число, так и
треугольник - первая пространственная фигура: точка и линия - это элементы,
"начала", из которых строятся геометрические фигуры.
При этом "переведении" чисел в пространство каждое новое число представляет
пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений ("не
имеет частей"); двойка имеет одно измерение - "длину без ширины" ("Начала"
Евклида, кн. I, определение 2); тройка имеет два измерения - длину и
ширину. Треугольник, таким образом, есть "первая" (не во временн(м, а в
логическом смысле) плоскость, ибо тройка означает два измерения.
Наконец, четверка, соединившись с "материей" пространства, даст в
результате три измерения. Если возьмем точку, лежащую вне нашего
треугольника, и соединим ее с вершинами последнего, то получим уже
трехмерное тело - пирамиду (тетраэдр), которая будет парадигмой, образцом
объемных образований, "первым телом" опять-таки в логическом плане. Подобно
тому как идеи у Платона являются идеальными образцами чувственных вещей,
точно так же треугольник и пирамида являются у него промежуточными - не
идеальными, но и не чувственно-телесными - образцами всех двухмерных
(плоскостных) и трехмерных (объемных) объектов. И если мы будем называть
это "промежуточное" начало, эту "интеллигибельную материю" пространством,
то, стало быть, треугольник - это "первая", исходная, элементарная
"клеточка" тела.
Но это не значит, что плоскость "складывается" из треугольников наподобие
того, как одеяло сшивается из лоскутов. Отношение "образца" к тому,
образцом чего оно является, иное, чем отношение атома к составленным из
атомов телам. Как писал неоплатоник эпохи Возрождения Марсилио Фичино, "при
построении правильных тел из элементарных треугольников имеется в виду не
столько слагать их, сколько сравнивать друг с другом (comparanda haec inter
se potius quam componenda)".
Итак, относительно онтологического статуса геометрических объектов мы можем
теперь сказать следующее: Платон исходит из различения трех видов
реальности. "Есть бытие, есть пространство и есть возникновение". "Бытие" -
это сфера идеального, куда Платон относит и числа; все идеальное
постигается умом, и о нем возможно истинное знание - эпист(ме.
"Возникновение" - это сфера чувственного "бывания", она дана чувственному
восприятию, и о ней возможно иметь лишь мнение в его двух видах - веры и
уподобления. "Пространство" - это нечто такое, что нельзя назвать ни
идеальным в строгом смысле, ни чувственным; оно смутно и неопределенно,
познается с помощью "незаконнорожденного рассуждения", т.е. воображения,
как позднее определил Прокл. Объекты геометрии, однако, связаны с этим
промежуточным родом бытия, хотя и не определяются только им одним.
Поскольку они "воображаются", т.е. поскольку точка "движется" в
воображаемом пространстве, они определяются этим последним. Поскольку же
всякий геометрический объект (треугольник, квадрат, круг и т.д.)
представляет собой некоторое число или числовое отношение, постольку он
определяется не через пространство, а идеально, логически. Геометрические
объекты, стало быть, тоже можно рассматривать как "гибриды":
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107