в них
логическое оказывается "сращенным" с некоторого рода "материей", а именно с
пространством.
Поскольку, однако, точка, линия, треугольник, пирамида и т.д. - это
воплощенные идеальные образования, постольку они неделимы. Отсюда учение
платоников не только о неделимых точках, но и о неделимых линиях, неделимых
треугольниках или, что то же самое, неделимых поверхностях. "Разделить"
точку, "первую" линию, "первый" треугольник - это все равно, что
"разделить" понятие тождества, различия или "единства различных", ибо
именно таковы "понятия" точки, линии и плоскости. О "делении" применительно
к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, говорить
только в одном смысле, а именно в смысле уменьшения числа измерений. Так,
например, в результате "разделения" треугольника, т.е. плоскости, получим
не плоскости, меньшие по своей величине, а линию; в результате деления
линии - не все меньшие линейные отрезки, а точку. В этом состоит различие
между платоновским и демокритовским пониманием неделимого. Согласно
Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов далее неделимые
элементы того же измерения, что и само тело.
И в самом деле, у Платона числовые (т.е. идеально-логические) элементы
треугольника (тройки) - это двойка и единица. Как можно "поделить" тройку?
Только разложив ее на эти "элементы" - в результате вместо треугольника
будет линия (двойка). То же и с линией. Но разве мы не можем разделить
линию не как двойку, а как "движущуюся" в воображении точку, ибо ведь линия
порождается этой движущейся точкой? На этот вопрос платоники, как кажется,
должны ответить так: эту проводимую в воображении линию мы можем разделить,
но мы разделим при этом не линию, а только некое чувственно воспринимаемое
протяженное тело, которое будет "телом линии" лишь при одном условии: если
оно - двойка. А двойку мы не можем делить иначе чем на единицы, т.е.
применительно к геометрии, точки.
Математические неделимые: споры вокруг них в античности
Однако такого рода объекты-кентавры - линии, треугольники и т.д. - могли
вызывать затруднения в силу смешения двух аспектов: числового (идеального,
логического) и пространственного - воззрительного, наглядного. Естественно,
что при этом "неделимые линии" представлялись как "мельчайшие": ведь они -
первые, из них - все остальное, и любой отрезок прямой тогда оказывается
состоящим из этих неделимых (атомарных) линий, аналогично тому, как у
Демокрита тело - из мельчайших частиц того же измерения.
Именно на этом смешении двух способов рассмотрения - числового и
пространственного - основан трактат "О неделимых линиях", который
приписывался Аристотелю, но принадлежит, возможно, Теофрасту. В нем дается
критика учения платоников о неделимых линиях. Среди платоников это учение
разрабатывал прежде всего Ксенократ, хотя, как сообщает Аристотель, оно уже
было и у Платона.
Но автор трактата о неделимых линиях исходит из представления о том, что
последние представляют собой "мельчайшие" в пространственном (а не
логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним
предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком понимании неделимых
линий действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые
автор и перечисляет.
Если допустить эти "линии-атомы", то: "1... все линии (отрезки) были бы...
соизмеримыми (s·mmetroi). Ибо все они были бы измеримыми при помощи атомов
(-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые
соизмеримы (только) в квадрате... 2. Далее, раз из трех данных прямых
образуется треугольник, то треугольник можно составить также из трех
линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная
из вершины) проходит через середину (основания), а следовательно, и через
середину атомов (-линий)... 3. Далее, присоединение одной линии к другой не
могло бы увеличить всей линии. Ибо неделимые линии, взятые в совокупности,
не образуют ничего большего..." Мы не будем перечислять остальные
аргументы, так как характер критики уже понятен.
Приведенные два первых аргумента неизвестного автора почти полностью
повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неделимых
физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такого рода
"последних неделимых" противоречило бы самым очевидным положениям
математики, ибо тогда, во-первых, все отрезки были бы соизмеримы (они имели
бы атом в качестве наименьшей меры), а во-вторых, невозможно было бы
поделить точно пополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда
надо было бы разделить атом). Что касается третьего аргумента, то он
приводился уже у Зенона и неоднократно воспроизводился у Аристотеля: если
атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст
величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его
атомы - не математические точки, а минимальные величины - тела).
Однако при этом интересно отметить одно обстоятельство. Аристотель,
неоднократно отмечавший, что допущение атомизма Демокрита не может
согласоваться с математикой, ибо математика исходит из непрерывного
континуума, в то же время нигде не приводит того же аргумента против
Платона и его учеников. Хотя если бы он понимал математические "неделимые"
так же, как автор цитированного трактата, то должен был обрушиться на них
еще резче, чем на Демокрита. Тем более что по другим аспектам обоснования
математики Аристотель постоянно полемизирует с платониками. Не потому ли он
не указывал на несостоятельность учения о математических неделимых, что был
лучше осведомлен о том, как трактовали их платоники?
Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических
объектов - точки, линии, треугольника, пирамиды - оказало большое влияние
на дальнейшее развитие математики как в эпоху эллинизма, так и в средние
века и особенно в эпоху Возрождения.
В связи с проблемой математических неделимых встает еще один, может быть,
наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что "разделить" математический
объект, например плоскость, - это значит получить математический объект
другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разделенной", она
превращается в линию, т.е. в одномерное образование. Но что же это за
способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о
делении как расчленении тела на части: в результате деления мы здесь как бы
совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению
непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения "мнения", т.е.
обычного представления о делении объекта.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
логическое оказывается "сращенным" с некоторого рода "материей", а именно с
пространством.
Поскольку, однако, точка, линия, треугольник, пирамида и т.д. - это
воплощенные идеальные образования, постольку они неделимы. Отсюда учение
платоников не только о неделимых точках, но и о неделимых линиях, неделимых
треугольниках или, что то же самое, неделимых поверхностях. "Разделить"
точку, "первую" линию, "первый" треугольник - это все равно, что
"разделить" понятие тождества, различия или "единства различных", ибо
именно таковы "понятия" точки, линии и плоскости. О "делении" применительно
к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, говорить
только в одном смысле, а именно в смысле уменьшения числа измерений. Так,
например, в результате "разделения" треугольника, т.е. плоскости, получим
не плоскости, меньшие по своей величине, а линию; в результате деления
линии - не все меньшие линейные отрезки, а точку. В этом состоит различие
между платоновским и демокритовским пониманием неделимого. Согласно
Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов далее неделимые
элементы того же измерения, что и само тело.
И в самом деле, у Платона числовые (т.е. идеально-логические) элементы
треугольника (тройки) - это двойка и единица. Как можно "поделить" тройку?
Только разложив ее на эти "элементы" - в результате вместо треугольника
будет линия (двойка). То же и с линией. Но разве мы не можем разделить
линию не как двойку, а как "движущуюся" в воображении точку, ибо ведь линия
порождается этой движущейся точкой? На этот вопрос платоники, как кажется,
должны ответить так: эту проводимую в воображении линию мы можем разделить,
но мы разделим при этом не линию, а только некое чувственно воспринимаемое
протяженное тело, которое будет "телом линии" лишь при одном условии: если
оно - двойка. А двойку мы не можем делить иначе чем на единицы, т.е.
применительно к геометрии, точки.
Математические неделимые: споры вокруг них в античности
Однако такого рода объекты-кентавры - линии, треугольники и т.д. - могли
вызывать затруднения в силу смешения двух аспектов: числового (идеального,
логического) и пространственного - воззрительного, наглядного. Естественно,
что при этом "неделимые линии" представлялись как "мельчайшие": ведь они -
первые, из них - все остальное, и любой отрезок прямой тогда оказывается
состоящим из этих неделимых (атомарных) линий, аналогично тому, как у
Демокрита тело - из мельчайших частиц того же измерения.
Именно на этом смешении двух способов рассмотрения - числового и
пространственного - основан трактат "О неделимых линиях", который
приписывался Аристотелю, но принадлежит, возможно, Теофрасту. В нем дается
критика учения платоников о неделимых линиях. Среди платоников это учение
разрабатывал прежде всего Ксенократ, хотя, как сообщает Аристотель, оно уже
было и у Платона.
Но автор трактата о неделимых линиях исходит из представления о том, что
последние представляют собой "мельчайшие" в пространственном (а не
логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним
предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком понимании неделимых
линий действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые
автор и перечисляет.
Если допустить эти "линии-атомы", то: "1... все линии (отрезки) были бы...
соизмеримыми (s·mmetroi). Ибо все они были бы измеримыми при помощи атомов
(-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые
соизмеримы (только) в квадрате... 2. Далее, раз из трех данных прямых
образуется треугольник, то треугольник можно составить также из трех
линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная
из вершины) проходит через середину (основания), а следовательно, и через
середину атомов (-линий)... 3. Далее, присоединение одной линии к другой не
могло бы увеличить всей линии. Ибо неделимые линии, взятые в совокупности,
не образуют ничего большего..." Мы не будем перечислять остальные
аргументы, так как характер критики уже понятен.
Приведенные два первых аргумента неизвестного автора почти полностью
повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неделимых
физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такого рода
"последних неделимых" противоречило бы самым очевидным положениям
математики, ибо тогда, во-первых, все отрезки были бы соизмеримы (они имели
бы атом в качестве наименьшей меры), а во-вторых, невозможно было бы
поделить точно пополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда
надо было бы разделить атом). Что касается третьего аргумента, то он
приводился уже у Зенона и неоднократно воспроизводился у Аристотеля: если
атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст
величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его
атомы - не математические точки, а минимальные величины - тела).
Однако при этом интересно отметить одно обстоятельство. Аристотель,
неоднократно отмечавший, что допущение атомизма Демокрита не может
согласоваться с математикой, ибо математика исходит из непрерывного
континуума, в то же время нигде не приводит того же аргумента против
Платона и его учеников. Хотя если бы он понимал математические "неделимые"
так же, как автор цитированного трактата, то должен был обрушиться на них
еще резче, чем на Демокрита. Тем более что по другим аспектам обоснования
математики Аристотель постоянно полемизирует с платониками. Не потому ли он
не указывал на несостоятельность учения о математических неделимых, что был
лучше осведомлен о том, как трактовали их платоники?
Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических
объектов - точки, линии, треугольника, пирамиды - оказало большое влияние
на дальнейшее развитие математики как в эпоху эллинизма, так и в средние
века и особенно в эпоху Возрождения.
В связи с проблемой математических неделимых встает еще один, может быть,
наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что "разделить" математический
объект, например плоскость, - это значит получить математический объект
другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разделенной", она
превращается в линию, т.е. в одномерное образование. Но что же это за
способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о
делении как расчленении тела на части: в результате деления мы здесь как бы
совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению
непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения "мнения", т.е.
обычного представления о делении объекта.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107