Другими словами, может быть построена полная система аксиом, из которой будут выводиться все тождественно истинные формулы и только они. Как показали исследования логиков, таких полных систем аксиом существует много. Система из четырех аксиом, которую мы только что рассмотрели является полной. Ее предложил известный немецкий математик и логик Д. Гильберт.
Подобное свойство исчисления высказываний позволяет достаточно легко ответить на кардинальный вопрос, возникающий для любой формальной системы: принадлежит ли некоторая правильная формула к множеству формул, выводимых в данной формальной системе? Для ответа на этот вопрос надо построить таблицу, в которой в левой части перечислены все возможные комбинации значений истины и лжи для высказываний, входящих в эту формулу (легко видеть, что при n различных таких высказываниях число комбинаций будет равно 2n ), а в правой части выписаны значения истинности проверяемой формулы. Если правый столбец состоит только из значений «истина», то формула выводима в исчислении высказываний. В противном случае ее выводимость не имеет места.
Пусть, например, надо узнать, выводима ли в исчислении высказываний формула ((
?
?)
?). В эту формулу входит одно высказывание ?. Поэтому нужно проверить лишь две комбинации истинности: когда ? истинно и когда оно ложно. В первом случае по свойству импликации первая скобка является истинной, ибо
? ложно. Но тогда истинна и вся формула, ибо импликация истинна, когда истинны ее левая и правая части. Если же ? ложно, то первая скобка является ложной, так как левая часть импликации (
?
?) истинна, а правая ложна. Но тогда вся формула является истинной. Тем самым доказано, что интересующая нас формула является тождественно истинной и, следовательно, выводимой в исчислении высказываний.
О чем все это говорит? Прежде всего о том, что процедура выводимости в исчислении высказываний конструктивно разрешима. Проверка общезначимости (тождественной истинности) формулы сводится к построению нужной конечной таблицы и перебору всех вариантов, содержащихся в ее левой части, с целью определения истинностного значения проверяемой формулы. Получение первого значения «ложь» свидетельствует о невыводимости. Если же при всех комбинациях, перечисленных в левой части таблицы, формула принимает значение «истина», то она выводима с помощью описанных выше двух правил вывода из той или иной полной системы абсолютных аксиом.
Проиллюстрируем эту процедуру еще на одном примере. Проверим, является ли выводимой формула ((?
?)
((
?
?)&?)). В этой формуле (будем обозначать ее ?) имеется три высказывания, что приводит к необходимости рассмотрения истинного значения ? на 23=8 комбинациях. Эти комбинации и соответствующие шаги по определению истинностного значения ? на них даны в табл. 3, в которой И и Л означают соответственно значения «истина» и «ложь».
Таблица 3
Появление в пятой строке в столбце ? значения Л свидетельствует о невыводимости исследуемой формулы. На этом шаге процесс вывода можно прекратить. Остальные строки в таблице приведены лишь для полноты картины.
«Логик-теоретик»
Так была названа программа для ЭВМ, созданная в середине шестидесятых годов американским кибернетиком А. Ньюэллом в содружестве с психологом Г. Саймоном. Она была предназначена для доказательства теорем в исчислении высказываний, т.е. для поиска обоснования тождественной истинности некоторых утверждений. Для того чтобы перейти к описанию программы «Логик-теоретик», введем предварительно понятие о равенстве двух выражений исчисления высказываний. Будем говорить, что выражения ?1 и ?2 равны между собой, и записывать этот факт обычным образом ?1=?2, если на всех возможных наборах интерпретации истинности входящих в них элементарных высказываний истинность ?1 и ?2 одинакова.
Появление знака равенства, которого не было в исчислении высказываний, не должно нас смущать. Его легко можно исключить из рассмотрения, введя формулу ((?1&?2)
(
?1&
?2)). Читатели могут проверить, что эта формула будет истинной только в том случае, когда оценки истинности ?1 и ?2 одинаковы. Тогда утверждение, что ?1=?2, становится эквивалентным утверждению, что формула ((?1&?2)
(
?1&
?2)) является истинной.
«Логик-теоретик» должен был доказывать справедливость утверждений вида ?1=?2 для различных ?1 и ?2. Однако авторы «Логика-теоретика» не пошли по прямому пути. Не стали строить таблицы для ?1 и ?2 и проверять совпадение истинности ?1 и ?2 на всех возможных интерпретациях истинности их аргументов. Ведь с ростом числа аргументов n число строк в этих таблицах растет как 2n . А. Ньюэлл и Г. Саймон пошли по пути приближения процедуры доказательства к тому, как это делают люди.
В основу процесса доказательства они положили идею ликвидации различий в формульной записи ?1 и ?2. Авторы программы составили перечень из шести различий.
1. В ?1 и ?2 различное число членов в формулах. Например, ?1=?
?, а ?2=?
?.
2. В ?1 и ?2 имеется различие в основной связке (т.е. в связке, которая выполняется последней). Например, ?1=(??)
(
), а ?2=(?
)
?.
3. Перед всем выражением для ?1(?2) стоит знак отрицания, а перед ?2(?1) его нет. Например, ?1=
(?
?), а ?2=??.
4. Аналогичное различие, но оно касается не всего выражения для ?i (i =1,2), а некоторого его подвыражения.
5. Скобки в ?1 расставлены не так, как в ?2. Например, ?1=?
(?
?), а ?2=(?
?)
?.
6. Записи для ?1 и ?2 отличаются порядком следования подвыражений. Например, ?1=(??)
?, а ?2=?
(??).
Для того чтобы иметь возможность ликвидировать подобные различия, используются 12 преобразований формул исчисления высказываний. Первые семь преобразований носят тождественный характер, т.е. не меняют истинного значения преобразуемых формул. Последние пять верны только при условии, что левая часть их является тождественно истинной (T -выражением).
В преобразованиях использованы большие латинские буквы, которые могут соответствовать любым подвыражениям формул ?1 и ?2. Стрелки
и
показывают направление преобразований. (Знак
есть по сути знак
.)
С помощью этих преобразований можно устранять различия между ?1 и ?2, которые мы перечислили выше. Укажем в специальной табл. 4 классы преобразований F 1, которые можно использовать для устранения различий. Первое различие разделено на два: различие 1’ требует добавления выражений в формулу, а различие 1’’ – вычеркивания из формулы лишних выражений.
Таблица 4
Крестики поставлены там, где можно устранить различие с помощью соответствующего преобразования.
Покажем работу программы «Логик-теоретик» на несложном примере. Пусть требуется доказать равенство ?1=?2, имеющее вид
Применим к ?1 первое преобразование из F 7 справа налево.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Подобное свойство исчисления высказываний позволяет достаточно легко ответить на кардинальный вопрос, возникающий для любой формальной системы: принадлежит ли некоторая правильная формула к множеству формул, выводимых в данной формальной системе? Для ответа на этот вопрос надо построить таблицу, в которой в левой части перечислены все возможные комбинации значений истины и лжи для высказываний, входящих в эту формулу (легко видеть, что при n различных таких высказываниях число комбинаций будет равно 2n ), а в правой части выписаны значения истинности проверяемой формулы. Если правый столбец состоит только из значений «истина», то формула выводима в исчислении высказываний. В противном случае ее выводимость не имеет места.
Пусть, например, надо узнать, выводима ли в исчислении высказываний формула ((
?
?)
?). В эту формулу входит одно высказывание ?. Поэтому нужно проверить лишь две комбинации истинности: когда ? истинно и когда оно ложно. В первом случае по свойству импликации первая скобка является истинной, ибо
? ложно. Но тогда истинна и вся формула, ибо импликация истинна, когда истинны ее левая и правая части. Если же ? ложно, то первая скобка является ложной, так как левая часть импликации (
?
?) истинна, а правая ложна. Но тогда вся формула является истинной. Тем самым доказано, что интересующая нас формула является тождественно истинной и, следовательно, выводимой в исчислении высказываний.
О чем все это говорит? Прежде всего о том, что процедура выводимости в исчислении высказываний конструктивно разрешима. Проверка общезначимости (тождественной истинности) формулы сводится к построению нужной конечной таблицы и перебору всех вариантов, содержащихся в ее левой части, с целью определения истинностного значения проверяемой формулы. Получение первого значения «ложь» свидетельствует о невыводимости. Если же при всех комбинациях, перечисленных в левой части таблицы, формула принимает значение «истина», то она выводима с помощью описанных выше двух правил вывода из той или иной полной системы абсолютных аксиом.
Проиллюстрируем эту процедуру еще на одном примере. Проверим, является ли выводимой формула ((?
?)
((
?
?)&?)). В этой формуле (будем обозначать ее ?) имеется три высказывания, что приводит к необходимости рассмотрения истинного значения ? на 23=8 комбинациях. Эти комбинации и соответствующие шаги по определению истинностного значения ? на них даны в табл. 3, в которой И и Л означают соответственно значения «истина» и «ложь».
Таблица 3
Появление в пятой строке в столбце ? значения Л свидетельствует о невыводимости исследуемой формулы. На этом шаге процесс вывода можно прекратить. Остальные строки в таблице приведены лишь для полноты картины.
«Логик-теоретик»
Так была названа программа для ЭВМ, созданная в середине шестидесятых годов американским кибернетиком А. Ньюэллом в содружестве с психологом Г. Саймоном. Она была предназначена для доказательства теорем в исчислении высказываний, т.е. для поиска обоснования тождественной истинности некоторых утверждений. Для того чтобы перейти к описанию программы «Логик-теоретик», введем предварительно понятие о равенстве двух выражений исчисления высказываний. Будем говорить, что выражения ?1 и ?2 равны между собой, и записывать этот факт обычным образом ?1=?2, если на всех возможных наборах интерпретации истинности входящих в них элементарных высказываний истинность ?1 и ?2 одинакова.
Появление знака равенства, которого не было в исчислении высказываний, не должно нас смущать. Его легко можно исключить из рассмотрения, введя формулу ((?1&?2)
(
?1&
?2)). Читатели могут проверить, что эта формула будет истинной только в том случае, когда оценки истинности ?1 и ?2 одинаковы. Тогда утверждение, что ?1=?2, становится эквивалентным утверждению, что формула ((?1&?2)
(
?1&
?2)) является истинной.
«Логик-теоретик» должен был доказывать справедливость утверждений вида ?1=?2 для различных ?1 и ?2. Однако авторы «Логика-теоретика» не пошли по прямому пути. Не стали строить таблицы для ?1 и ?2 и проверять совпадение истинности ?1 и ?2 на всех возможных интерпретациях истинности их аргументов. Ведь с ростом числа аргументов n число строк в этих таблицах растет как 2n . А. Ньюэлл и Г. Саймон пошли по пути приближения процедуры доказательства к тому, как это делают люди.
В основу процесса доказательства они положили идею ликвидации различий в формульной записи ?1 и ?2. Авторы программы составили перечень из шести различий.
1. В ?1 и ?2 различное число членов в формулах. Например, ?1=?
?, а ?2=?
?.
2. В ?1 и ?2 имеется различие в основной связке (т.е. в связке, которая выполняется последней). Например, ?1=(??)
(
), а ?2=(?
)
?.
3. Перед всем выражением для ?1(?2) стоит знак отрицания, а перед ?2(?1) его нет. Например, ?1=
(?
?), а ?2=??.
4. Аналогичное различие, но оно касается не всего выражения для ?i (i =1,2), а некоторого его подвыражения.
5. Скобки в ?1 расставлены не так, как в ?2. Например, ?1=?
(?
?), а ?2=(?
?)
?.
6. Записи для ?1 и ?2 отличаются порядком следования подвыражений. Например, ?1=(??)
?, а ?2=?
(??).
Для того чтобы иметь возможность ликвидировать подобные различия, используются 12 преобразований формул исчисления высказываний. Первые семь преобразований носят тождественный характер, т.е. не меняют истинного значения преобразуемых формул. Последние пять верны только при условии, что левая часть их является тождественно истинной (T -выражением).
В преобразованиях использованы большие латинские буквы, которые могут соответствовать любым подвыражениям формул ?1 и ?2. Стрелки
и
показывают направление преобразований. (Знак
есть по сути знак
.)
С помощью этих преобразований можно устранять различия между ?1 и ?2, которые мы перечислили выше. Укажем в специальной табл. 4 классы преобразований F 1, которые можно использовать для устранения различий. Первое различие разделено на два: различие 1’ требует добавления выражений в формулу, а различие 1’’ – вычеркивания из формулы лишних выражений.
Таблица 4
Крестики поставлены там, где можно устранить различие с помощью соответствующего преобразования.
Покажем работу программы «Логик-теоретик» на несложном примере. Пусть требуется доказать равенство ?1=?2, имеющее вид
Применим к ?1 первое преобразование из F 7 справа налево.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53