Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.
Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведём пример развёрнутой логической системы.
Лемма 1. Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).
Доказательство. Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P (k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмём множество, состоящее из k + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернём удалённую лошадь в множество, а вместо неё удалим другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберём все k + 1 множеств, в каждом по k лошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т. е. предположение, что P (k) влечёт за собой P (k + 1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р (1) выполняется всегда, значит, Р справедливо для любого k и все лошади имеют одинаковую масть.
Следствие I. Все предметы имеют одинаковую окраску.
Доказательство. В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «если Х – лошадь, то все Х имеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)
Следствие II. Все предметы белого цвета.
Доказательство. Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Х оно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х – слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!
Теорема. Александр Великий не существовал.
Доказательство. Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.
Из этого краткого обзора, посвящённого математическим доказательствам, не следует делать вывод, что всё уже доказано. Приведём два примера недоказанных теорем. Первый – это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух чётных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: «Всё, что может испортиться, – портится».
– • • • –
«Выражение „Инфекционное заболевание“ означает прежде всего заболевание, подпадающее под действие подраздела 1 раздела 29 абсолютно или согласно определению одной из стадий такого заболевания, но в любом разделе части 4 настоящего Закона, применением которой заболевание или стадия заболевания исключаются из этого класса в соответствии с подразделом 2 упомянутого раздела 29, соответствующее выражение не означает такого заболевания или такого заболевания в такой стадии, как это может показаться».
Из британского «Закона об охране здоровья»
• • •
Правило тринадцатого удара, которое следует помнить, читая работу, обещающую слишком много: если часы пробили тринадцать раз, то это не только означает, что тринадцатый удар был неверным. Он порождает сомнения в верности каждого из первых двенадцати ударов.
Джон Мастерс
• • •
Одна знакомая просила Альберта Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что номер очень трудно запомнить: 24361.
– И чего же тут трудного? – удивился Эйнштейн. – Две дюжины и 19 в квадрате.
• • •
– Мы считали: 10, 9, 8, 7, … – и сбились со счёта.
• • •
Использование ракет в мирных целях.
• • •
В начале научной карьеры Эйнштейна один журналист спросил госпожу Эйнштейн, что она думает о своём муже.
– Мой муж гений! – сказала госпожа Эйнштейн. – Он умеет делать абсолютно всё, кроме денег.
• • •
«…одной из главных причин потока научной литературы является то, что, когда исследователь достигает стадии, на которой он перестаёт видеть за деревьями лес, он слишком охотно склоняется к разрешению этой трудности путём перехода к изучению отдельных листьев».
«Ланцет», декабрь 1980 г.
Новая классификация камней
М. Дж. Оппенгейм
Ниже приводится классификация камней, применимая ко всем разновидностям и рекомендуемая для всеобщего использования. Эта классификация, с одной стороны, совершенно чёткая и жёсткая, с другой стороны – весьма гибкая и удобная. Кроме того, она подлинно научна, ибо опирается только на наблюдаемые свойства объектов и рассматривает эти объекты в нескольких различных планах, демонстрируя серьёзный и разносторонний подход к проблеме.
A. Генетический план
A1. Камень небесного происхождения. Наиболее яркий представитель – лунный камень.
A2. Камень подземного происхождения. Типичный представитель – угольный камень (его называют также каменный уголь).
A3. Камень земного происхождения – могильный камень.
B. Тектонический план
B1. Перекатный камень – претерпевавший перемещения с момента образования.
B2. Краеугольный камень – не претерпевавший перемещений с момента образования.
C. Физико-химический план
C1. Философский камень – обращающий металлы, к которым он прикасается, в золото.
C2. Нефилософский камень – не обращающий металлы в золото.
D. Кинематический план
D1. Лежачий камень, под который вода не течёт.
D2. Нележачий камень, под который вода течёт.
Е. Функциональный план (отражающий роль камня в человеческом обществе)
E1. Камень на шее (разновидность: на сердце).
E2. Камень в почках.
EЗ. Камень за пазухой.
Указания для практического применения нашей классификации при описании минералов:
1. Классификационный тип камня может быть при желании дополнен указанием цвета камня и высоты музыкального тона, издаваемого им при профессиональном простукивании геологическим молотком.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведём пример развёрнутой логической системы.
Лемма 1. Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).
Доказательство. Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P (k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмём множество, состоящее из k + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернём удалённую лошадь в множество, а вместо неё удалим другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберём все k + 1 множеств, в каждом по k лошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т. е. предположение, что P (k) влечёт за собой P (k + 1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р (1) выполняется всегда, значит, Р справедливо для любого k и все лошади имеют одинаковую масть.
Следствие I. Все предметы имеют одинаковую окраску.
Доказательство. В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «если Х – лошадь, то все Х имеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)
Следствие II. Все предметы белого цвета.
Доказательство. Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Х оно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х – слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!
Теорема. Александр Великий не существовал.
Доказательство. Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.
Из этого краткого обзора, посвящённого математическим доказательствам, не следует делать вывод, что всё уже доказано. Приведём два примера недоказанных теорем. Первый – это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух чётных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: «Всё, что может испортиться, – портится».
– • • • –
«Выражение „Инфекционное заболевание“ означает прежде всего заболевание, подпадающее под действие подраздела 1 раздела 29 абсолютно или согласно определению одной из стадий такого заболевания, но в любом разделе части 4 настоящего Закона, применением которой заболевание или стадия заболевания исключаются из этого класса в соответствии с подразделом 2 упомянутого раздела 29, соответствующее выражение не означает такого заболевания или такого заболевания в такой стадии, как это может показаться».
Из британского «Закона об охране здоровья»
• • •
Правило тринадцатого удара, которое следует помнить, читая работу, обещающую слишком много: если часы пробили тринадцать раз, то это не только означает, что тринадцатый удар был неверным. Он порождает сомнения в верности каждого из первых двенадцати ударов.
Джон Мастерс
• • •
Одна знакомая просила Альберта Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что номер очень трудно запомнить: 24361.
– И чего же тут трудного? – удивился Эйнштейн. – Две дюжины и 19 в квадрате.
• • •
– Мы считали: 10, 9, 8, 7, … – и сбились со счёта.
• • •
Использование ракет в мирных целях.
• • •
В начале научной карьеры Эйнштейна один журналист спросил госпожу Эйнштейн, что она думает о своём муже.
– Мой муж гений! – сказала госпожа Эйнштейн. – Он умеет делать абсолютно всё, кроме денег.
• • •
«…одной из главных причин потока научной литературы является то, что, когда исследователь достигает стадии, на которой он перестаёт видеть за деревьями лес, он слишком охотно склоняется к разрешению этой трудности путём перехода к изучению отдельных листьев».
«Ланцет», декабрь 1980 г.
Новая классификация камней
М. Дж. Оппенгейм
Ниже приводится классификация камней, применимая ко всем разновидностям и рекомендуемая для всеобщего использования. Эта классификация, с одной стороны, совершенно чёткая и жёсткая, с другой стороны – весьма гибкая и удобная. Кроме того, она подлинно научна, ибо опирается только на наблюдаемые свойства объектов и рассматривает эти объекты в нескольких различных планах, демонстрируя серьёзный и разносторонний подход к проблеме.
A. Генетический план
A1. Камень небесного происхождения. Наиболее яркий представитель – лунный камень.
A2. Камень подземного происхождения. Типичный представитель – угольный камень (его называют также каменный уголь).
A3. Камень земного происхождения – могильный камень.
B. Тектонический план
B1. Перекатный камень – претерпевавший перемещения с момента образования.
B2. Краеугольный камень – не претерпевавший перемещений с момента образования.
C. Физико-химический план
C1. Философский камень – обращающий металлы, к которым он прикасается, в золото.
C2. Нефилософский камень – не обращающий металлы в золото.
D. Кинематический план
D1. Лежачий камень, под который вода не течёт.
D2. Нележачий камень, под который вода течёт.
Е. Функциональный план (отражающий роль камня в человеческом обществе)
E1. Камень на шее (разновидность: на сердце).
E2. Камень в почках.
EЗ. Камень за пазухой.
Указания для практического применения нашей классификации при описании минералов:
1. Классификационный тип камня может быть при желании дополнен указанием цвета камня и высоты музыкального тона, издаваемого им при профессиональном простукивании геологическим молотком.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55