— Беда поправимая, — сказал я. — Есть такая весёлая французская пьеска «Адвокат Патлен». Появилась она давным-давно, в шестнадцатом веке. Действие происходит в суде. Слушается дело о баранах. Хитрый адвокат Патлен всё время старается запутать ясный вопрос и отвлечь от него внимание судьи. А замороченный судья то и дело восклицает: «Вернёмся же к нашим баранам!»
— Забавная, наверное, сценка! Интересно, кто её написал?
— То-то и дело, что автор неизвестен.
— Автор неизвестен, автора давным-давно нет, а бараны его все живут, — философствовал Нулик.
— По этому случаю вернёмся наконец к нашим баранам, — предложил я. — Первым долгом обсудим вопрос Единички: чего больше — натуральных чисел или их квадратов?
— Но Единичка уже ответила на него! — возразила Таня. — И Магистру вряд ли удастся её опровергнуть.
— Между прочим, — напомнил Олег, — этим вопросом мы уже занимались. В прошлом году, когда говорили о множествах…
— А ведь верно! — сказала Таня. — Вопрос Единички и в самом деле касается множеств…
— Притом бесконечных множеств, — уточнил Сева. — И Единичка, конечно же, права: раз каждое число натурального ряда можно возвести в квадрат, значит, квадратов существует ровно столько, сколько натуральных чисел, то есть бесконечное множество.
— Надо сказать, Единичка доказала это очень простым способом, — вмешался я. — Над каждым квадратом она надписала его порядковый номер, то есть попросту пересчитала их. Недаром множества, которые можно перенумеровать, называются счётными.
— А разве есть множества, которые пересчитать нельзя? — спросил Нулик.
— Конечно. Вот, например, множество точек на отрезке прямой. Оно несчётное, хотя количество точек на любых отрезках прямой всегда одинаково.
— Как же так? — прошептал Нулик, окончательно потеряв голос от изумления.
— Вот так. Где, по-твоему, точек больше: на средней линии треугольника или на его основании?
— Что за вопрос! — фыркнул Нулик. — Конечно, на основании! Ведь оно вдвое длиннее средней линии.
— Не угадал. Пусть средняя линия вдвое меньше основания, а точек и тут и там совершенно одинаковое множество.
Я нарисовал треугольник, начертил его среднюю линию и провёл из вершины с десяток лучей, которые пересекли и среднюю линию и основание.
— Как видишь, каждый луч, пересекающий среднюю линию, непременно пересечёт и основание треугольника. Таких лучей я могу провести сколько угодно через любую точку средней линии. А раз так, значит, любой точке средней линии непременно соответствует какая-нибудь точка основания. Стало быть, множество точек и тут и там одинаково. Вот что бывает, когда имеешь дело с бесконечными несчётными множествами. Здесь сплошь да рядом часть равна целому.
— Ну и фокус! — выдохнул Сева.
— В бесконечности такие фокусы — дело обычное.
— Да, с бесконечностью лучше не связываться, — сказал Нулик. — И вообще пора нам отправляться на индульгенцию к вице-губернатору.
— А может, всё-таки на аудиенцию? — подмигнул Сева.
— Все остришь, да зря, — остановила его Таня. — Он ни того, ни другого не знает.
— Ничего, сейчас мы его просветим. Индульгенция, дорогой президент, слово латинское. В прямом значении это милость, а вообще-то так называется у католиков церковная грамота об отпущении грехов. Вот, например, натворил ты что-нибудь и хочешь искупить свою вину. Ступай к священнику да не забудь денег прихватить — и отпущение тебе обеспечено.
— А если денег у меня нет?
— Нет, так и ходи непрощенный.
— Ну и ладно! — неожиданно рассвирепел Нулик. — Не надо мне такой индульгенции!
— Мне тоже, — серьёзно согласился Олег. — Откупаться от грехов деньгами, это не для нас с тобой! Правда, Нулик? Мы люди порядочные. Махнём-ка лучше на приём, то бишь на аудиенцию к губернатору, и займёмся задачей о золотом полукруге.
Но президента, видимо, такая перспектива не слишком устраивала. Он вдруг безмолвно замотал головой, указывая пальцем на своё горло.
— А ещё порядочный человек! — потешалась Таня. — Спорить у него голоса хватает, а как надо задачу решать — так нет его!
Она взяла циркуль, линейку, вычертила на бумаге полукруг и сделала на нём две отметки: одну посередине диаметра, другую посередине полуокружности.
— Явное нарушение! — не выдержал президент. — Во-первых, решать задачу с помощью линейки по условию нельзя, а во-вторых, полукруг должен быть золотой.
— Во-первых, — весело передразнила Таня, — обойдёшься и нарисованным полукругом. Во-вторых, к решению я ещё только приступаю. Значит, так. Требуется отделить от полукруга часть, равновеликую квадрату, сторона которого равна радиусу полукруга.
— А это и есть квадратура круга! — запрыгал на одной ножке Нулик.
— Так думает Магистр, — возразила Таня. — И он, как всегда, неправ. В задаче о квадратуре круга требуется заменить равновеликим квадратом весь круг. Мы же должны заменить квадратом всего лишь часть круга.
— Все равно, — не унимался президент, — значит, это частичная квадратура круга.
— Скорее, наоборот, — поправил я, — не частичная квадратура, а квадратура части круга. И если полный круг заменить равновеликим квадратом немыслимо, то хитро выделенную часть круга в квадрат превратить можно. Это и собирается доказать нам Таня.
Таня отмерила циркулем расстояние от конца диаметра до его середины.
— Все видят, что расстояние между ножками циркуля равно радиусу полукруга? — спросила она.
— Все видят, — сказал Нулик.
Тогда Таня воткнула иглу циркуля в левый конец диаметра и, повернув циркуль против хода часовой стрелки, засекла карандашом небольшую дугу. Потом она вставила иголку в середину полуокружности и тем же радиусом засекла другую дугу, которая пересеклась с первой.
— Теперь смотрите внимательно, — сказала Таня. — Из точки пересечения этих двух дужек тем же раствором циркуля, то есть радиусом полукруга, провожу внутри нашего полукруга дугу. Эта дуга начинается из левого конца диаметра и доходит до середины полуокружности. Таким образом, полукруг разделился на две неравные части, и площадь большей из этих двух частей равна r^2, то есть равновелика квадрату со стороной, равной радиусу… Пожалей своё горло, Нулик! Я и так знаю, что ты хочешь сказать, и потому прямо перехожу к доказательству.
Таня соединила концы диаметра с серединой полуокружности. Получился равнобедренный треугольник.
— Доказать, что боковая сторона треугольника разделила меньшую часть полукруга на два равновеликих сегмента, нетрудно. Потому пусть каждый сделает это сам. А теперь посмотрите сюда, на эти три сегмента. Все они образованы боковыми сторонами треугольника, которые одновременно и хорды полукруга. Стало быть, площади этих трех сегментов равны между собой.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42