Для него множество мажорант будет 12, 36. Множество минорант – 3, 1. супремум – 12, инфимум – 3.
РЕШЕТКОЙ называется ЧУМ , в котором для любого непустого подмножества существуют супремум и инфимум.
Решетки, которые получаются как множества подмножеств данного конечного множества, с отношением включения, относятся к БУЛЕВЫМ РЕШЕТКАМ . Для тех, кто знают про булеву алгебру, добавим, что традиционная булева алгебра есть решетка из двух элементов: «истина», «ложь», с отношением порядка «более истинный».
Определить решетку можно и «алгебраически». Если для элементов множества с отношением частичного порядка (частично-упорядоченным множеством) выполняются законы коммутативный, ассоциативный, поглощения и идемпотентности, то такое частично-упорядоченное множество называется решеткой.
Если, кроме того, выполняется дистрибутивный закон – то решетка называется дистрибутивной.
Тут уж поверьте на слово – с помощью решеток решен ряд важных проблем. В том числе и теоретического программирования.
Лекция 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (БЕССМЫСЛЕННАЯ ЛОГИКА)
Обычно, настоящие математики не приспособлены к жизни. Посмотрите на них, если имеете возможность. Они где-то витают… Казалось бы, следует сделать исключение для логиков. Хотя бы потому, что поступки логиков должны быть наиболее логичны. Как бы не так! Все как раз наоборот! На самом-то деле логика строго оговаривает свои «правила игры» и действует пунктуально до беспощадности, граничащей с идиотизмом, в рамках этих правил. При этом их логика с «логикой жизни» имеет не больше общего, чем вы найдете общего в шахматной и Бородинской битвах… Но все-таки есть что-то похожее… Когда страсти с обеих противоборствующих сторон накаляются и дело доходит до рукопашной!…
Кстати, основной клоунский прием: с фанатичным исступлением совершать некие формально логичные, но с точки зрения жизненной реальности абсурдные до идиотизма, действия. Всем, прежде всего детям, очевиден полный идиотизм происходящего, но клоун продолжает поступать ЛОГИЧНО ! И ничто не в силах свернуть его с этого пути.
Вообще-то всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно – бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более, что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков… А от политики предпочтительно держаться подальше… Математическая логика понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?
Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).
Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна. Хотя, например, так называемые репертуарные решетки и говорят о некоторых успехах в этом направлении…
Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. (Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно).
Смыслом, если угодно – семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об'екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!
В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики…
Еще лишь упомянем апофеоз – ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ , которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой – разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться… Это для избранных.
Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике – это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(! ) в значительной степени автоматическими… Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!
Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно – перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА , что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!
Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ . Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
РЕШЕТКОЙ называется ЧУМ , в котором для любого непустого подмножества существуют супремум и инфимум.
Решетки, которые получаются как множества подмножеств данного конечного множества, с отношением включения, относятся к БУЛЕВЫМ РЕШЕТКАМ . Для тех, кто знают про булеву алгебру, добавим, что традиционная булева алгебра есть решетка из двух элементов: «истина», «ложь», с отношением порядка «более истинный».
Определить решетку можно и «алгебраически». Если для элементов множества с отношением частичного порядка (частично-упорядоченным множеством) выполняются законы коммутативный, ассоциативный, поглощения и идемпотентности, то такое частично-упорядоченное множество называется решеткой.
Если, кроме того, выполняется дистрибутивный закон – то решетка называется дистрибутивной.
Тут уж поверьте на слово – с помощью решеток решен ряд важных проблем. В том числе и теоретического программирования.
Лекция 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (БЕССМЫСЛЕННАЯ ЛОГИКА)
Обычно, настоящие математики не приспособлены к жизни. Посмотрите на них, если имеете возможность. Они где-то витают… Казалось бы, следует сделать исключение для логиков. Хотя бы потому, что поступки логиков должны быть наиболее логичны. Как бы не так! Все как раз наоборот! На самом-то деле логика строго оговаривает свои «правила игры» и действует пунктуально до беспощадности, граничащей с идиотизмом, в рамках этих правил. При этом их логика с «логикой жизни» имеет не больше общего, чем вы найдете общего в шахматной и Бородинской битвах… Но все-таки есть что-то похожее… Когда страсти с обеих противоборствующих сторон накаляются и дело доходит до рукопашной!…
Кстати, основной клоунский прием: с фанатичным исступлением совершать некие формально логичные, но с точки зрения жизненной реальности абсурдные до идиотизма, действия. Всем, прежде всего детям, очевиден полный идиотизм происходящего, но клоун продолжает поступать ЛОГИЧНО ! И ничто не в силах свернуть его с этого пути.
Вообще-то всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно – бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более, что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков… А от политики предпочтительно держаться подальше… Математическая логика понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?
Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).
Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна. Хотя, например, так называемые репертуарные решетки и говорят о некоторых успехах в этом направлении…
Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. (Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно).
Смыслом, если угодно – семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об'екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!
В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики…
Еще лишь упомянем апофеоз – ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ , которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой – разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться… Это для избранных.
Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике – это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(! ) в значительной степени автоматическими… Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!
Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно – перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА , что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!
Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ . Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16