Некоторые ученые не решились прислать свои результаты, считая их несовершенными, а другие, занимаясь поставленными задачами, пришли параллельно к интересным открытиям. Так, например, двадцатишестилетний английский профессор астрономии Рен, будущий королевский архитектор (с его именем связано создание собора святого Павла в Лондоне), хотя и не решил задач, но произвел спрямление циклоиды, то есть определил ее длину. Паскаль высоко отзывался о результате Рена, тем более что в это время сравнение кривых линий с прямыми казалось нелепым, задачи о спрямлении кривых считались необыкновенно трудными и были решены лишь для окружности, параболы и некоторых спиралей.
Письмами от 7 и 9 октября Амос Деттонвилль объявил о закрытии конкурса, а 24 ноября Каркави собрал «людей весьма сведущих в геометрии» для подведения итогов. На победу в конкурсе претендовал известный английский математик Валлис и иезуит из Тулузы Лалуэр. Валлис допустил серьезные просчеты в методе исследования и в самих вычислениях, что заставило жюри отклонить его решение. Англичанин обиделся, считая, что его работу нарочно недооценили. Недоволен он был и тем, что на его просьбы продлить столь неудобный для иностранцев срок конкурса (из-за различных задержек, связанных с почтой) следовали неминуемые отказы. Отношения между Паскалем жюри и вторым претендентом были такими же острыми. Лалуэр решил не все задачи, и его решения были малоинтересными, тем не менее он стремился доказать обратное. Между ним и Паскалем завязалась довольно длительная и изнуряющая переписка, в которой Блез уточнял конкурсные задачи, ставил дополнительные, пытаясь выяснить реальные познания Тулузского иезуита в математике. В конце концов Паскаль пришел к выводу, что результаты Лалуэра были «такими ложными, что это видно даже с первого взгляда». Тон Блеза по отношению к Лалуэру вскоре неожиданно стал весьма язвительным и напоминал интонации давнишнего письма к Ле Пайеру, в котором Паскаль, как известно, иронизировал по поводу познаний в физике другого иезуита — отца Ноэля. Предметы математики, пишет Блез в одном из трудов, посвященных истории рулетты, настолько серьезны сами по себе, что иногда полезно сделать их немного развлекательными; смехотворное непонимание поставленных на конкурсе задач и делает, по его мнению, математические сочинения Лалуэра «развлекательными».
Решения Паскаля жюри признало наилучшими, и в декабре 1658 года он сочинил «Письмо Амоса Деттонвилля к господину де Каркави», в котором изложил свои результаты и приводящие к ним методы. В следующем году оно пополнилось еще несколькими трактатами, и в печати появляются «Письма Амоса Деттонвилля, содержащие некоторые из его открытий в области геометрии».
О том, что суд жюри был действительно справедливым, свидетельствуют сами результаты и методы Паскаля, всеобщее одобрение и восхищение, которое они вызвали среди европейских ученых. Так, например, в феврале 1659 года Гюйгенс писал Блезу, что хотел бы называться его учеником в науке, где Паскаль продемонстрировал свое явное превосходство над многими. А в июне того же года, характеризуя «Письмо к Каркави», Гюйгенс сообщал Слюзу: «Работа выполнена столь тонко, что к ней нельзя ничего добавить». Действительно, отвечал Слюз знаменитому голландцу, «нельзя отрицать, что прекрасные, изобретательные и тонкие идеи, содержащиеся в этой книге, могут продвинуть вперед геометрию».
И Слюз был прав. Приемы и обобщения анализа бесконечно малых, которые Паскаль использовал в своих трудах по циклоиде, вели к изобретению дифференциального и интегрального исчисления.
Оно открыло целую эпоху в развитии естествознания и стало применяться не только во всех математических дисциплинах, но и повлияло на создание ряда новых разделов математики. Благодаря дифференциальному и интегральному исчислению математика стала гораздо шире проникать в область естественных наук и техники. Таким образом, в истории науки XVII века открытие этого исчисления было важнейшим событием, которое возникло как раз на основе методов исчисления бесконечно малых.
2
Своеобразие и эволюцию новых методов можно проследить, например, по исследованиям Кеплера и Кавальери. Так, Кеплер при определении целесообразной формы... винных бочек, когда при наименьшей затрате материала требуется получить наибольшую вместимость, разбивал идеальную поверхность изучаемого тела на элементарные части, суммировал их и тем самым непосредственно вводил бесконечно малые величины. Он применял способы исчисления бесконечно малых и в астрономических исследованиях.
Если использование этих способов у Кеплера ограничено конкретными задачами, возникавшими в ходе его научной деятельности, то в поисках более общих и систематизированных принципов образования и измерения поверхностей и тел Кавальери ввел и исследовал абстрактное понятие «неделимых». (Подобно Кавальери и независимо от него стал применять неделимые и Роберваль.) Неделимые у Кавальери — это элементы, из которых состоит площадь или объем того или иного геометрического объекта и размерность которых на единицу меньше размерности рассматриваемого объекта. Так, точка является неделимым для линии, прямая — для плоскости и т. д. При этом, например, площадь какой-то плоской фигуры определялась через уже известную площадь другой фигуры в результате сравнения отрезков прямых линий (неделимых), которыми эти фигуры покрывались.
Торричелли, отмечая особое воздействие метода неделимых на развитие математики, писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери есть удивительное по своей экономии средство для нахождения теорем и дает возможность разрешить огромное число, казалось бы, неразрешимых теорем краткими, прямыми, наглядными доказательствами, что невозможно сделать по методу древних. Это — истинно царская дорога среди зарослей математического терновника... Метод Кавальери является действительно научным способом доказательства, всегда идущим путем прямым и свойственным самой природе. Жаль мне древней геометрии, что она либо не знала, либо не хотела признавать учения о неделимых...»
Однако, по замечанию советского историка математики Л. С. Фреймана, метод Кавальери страдал существенными логическими противоречиями: «Одним из таких противоречий является то, что неделимое (линия) имеет на одно измерение меньше числа измерений у площади, а совокупность неделимых уже имеет столько же измерений, сколько площадь!» Действительно, при наложении, скажем, друг на друга плоскостей, толщина которых равна нулю, нельзя получить какой-то объем определенной толщины — суммирование нулей дает в итоге нулевой результат.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102