Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.
Леонард Эйлер (1707–1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.
Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.
Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем и Даниилом — возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.
В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.
Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году — к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году — к «несравненному Леонарду Эйлеру — главе математиков».
В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.
В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.
В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.
В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.
Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».
Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.
Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.
Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. „Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи“.
Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.
Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.
1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.
3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.
Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами…
При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения».
П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.
Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на множители.
Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит «королю математиков» Гауссу.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168