Потом она, конечно, была развита.
Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле - арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой - и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык - язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…
А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык - это язык дифференциального исчисления. Этот язык - родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга - есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде - нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая - это график некоторой функции. Производная - это очень просто, это крутизна графика. Крутизна - переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика - это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика - это зеленый график. Это - просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства - в направлении оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек - это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс - это Y с индексом икс. По игрек - с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение - очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25-30 лет. Это уравнение Кортевега - де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?
А.Г. Нет.
А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это - чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.
Уравнение, которое написано посредине, это первое нелинейное уравнение, которое было до конца проинтегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем считать, что это - первое нелинейное дифференциальное уравнение, которое полностью проинтегрировано. Такие уравнения называются вполне интегрируемыми. Это был очень большой прорыв в математике, люди обрадовались, что они наконец могут осилить кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это уравнение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное, тоже на вид очень простенькое, почти не отличается от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И, в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем, здесь больше мрака, чем света.
Теперь давайте посмотрим на следующее уравнение. Видите, там сверху написано уравнение плазмы внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пытаются осуществить термоядерный синтез. Видите, насколько оно сложнее, чем те, которые были написаны раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некоторые новые методы, можем о нем узнать.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле - арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой - и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык - язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…
А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык - это язык дифференциального исчисления. Этот язык - родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга - есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде - нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая - это график некоторой функции. Производная - это очень просто, это крутизна графика. Крутизна - переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика - это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика - это зеленый график. Это - просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства - в направлении оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек - это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс - это Y с индексом икс. По игрек - с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение - очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25-30 лет. Это уравнение Кортевега - де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?
А.Г. Нет.
А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это - чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.
Уравнение, которое написано посредине, это первое нелинейное уравнение, которое было до конца проинтегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем считать, что это - первое нелинейное дифференциальное уравнение, которое полностью проинтегрировано. Такие уравнения называются вполне интегрируемыми. Это был очень большой прорыв в математике, люди обрадовались, что они наконец могут осилить кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это уравнение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное, тоже на вид очень простенькое, почти не отличается от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И, в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем, здесь больше мрака, чем света.
Теперь давайте посмотрим на следующее уравнение. Видите, там сверху написано уравнение плазмы внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пытаются осуществить термоядерный синтез. Видите, насколько оно сложнее, чем те, которые были написаны раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некоторые новые методы, можем о нем узнать.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68