— Должно быть, я совершил большую глупость, когда заснул в поезде, — подумал мистер Томпкинс, сердясь на себя все больше и больше, — а профессор все еще помнит тот глупый вопрос, который я задал ему о молодеющих пассажирах. Но по крайней мере это позволяет мне продолжить знакомство с профессором и расспросить его о том, что мне по-прежнему непонятно.
Даже самому себе мистер Томпкинс не хотел признаться, что думает не только о профессоре, но и о его хорошенькой спутнице.
— Да, да, конечно, я помню, что видел вас на своих лекциях, — сказал профессор, когда они выходили из обеденного зала. — Познакомьтесь, это моя дочь Мод. Она занимается живописью.
— Рад познакомиться с вами, мисс Мод, — ответил мистер Томпкинс и подумал, что никогда не слышал более красивого имени. — Думаю, что здешние красоты дадут вам немало материала для ваших этюдов.
— Мод непременно покажет их вам когда-нибудь, — пообещал профессор. — А сейчас скажите мне лучше, много ли вы почерпнули из моей лекции?
— О да, очень много! Более того, я на себе прочувствовал все эти релятивистские сокращения материальных объектов и сумасшедшее поведение часов, когда побывал в городе, где скорость света составляла только километров десять в час.
— Жаль, что вы пропустили мою следующую лекцию о кривизне пространства и ее связи с силами ньютоновской гравитации, — задумчиво произнес профессор.
— Но здесь, на побережье, у нас хватит времени, и я надеюсь объяснить вам все это. Например, понимаете ли вы, в чем разница между положительной и отрицательной кривизной пространства?
— Папочка, — вмешалась мисс Мод, капризно надув губы, — если вы собираетесь снова беседовать о физике, то я лучше займусь этюдами.
— Хорошо, девочка, иди, — согласился профессор, опускаясь в легкое кресло. — Я вижу, что вы молодой человек, не очень сведущи в математике, но думаю, что удастся объяснить вам все очень просто. Для большей наглядности я буду говорить о поверхности. Представьте себе, что мистер Шелл (вы знаете, о ком я говорю, — это тот самый господин, который владеет бензозаправочными станциями «Шелл Ойл») решил как-то раз проследить за тем, чтобы его заправочные станции были равномерно распределены по территории какой-нибудь страны, например, Америки. Для этого мистер Шелл отдал правлению своей фирмы, расположенному где-то в центре страны (если я не ошибаюсь, многие склонны думать, что сердце Америки находится в Канзас-Сити), распоряжение сосчитать число станций на расстоянии сто, двести, триста и т. д. миль от центра. Со школьной скамьи мистер Шелл вынес воспоминания о том, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, и ожидает, что в случае равномерного распределения заправочных станций число их в результате подсчетов будет возрастать, как последовательность чисел 1; 4; 9; 16 и т.д. Когда в правление «Шелл Ойл» стали поступать отчеты, глава фирмы к своему великому удивлению обнаружил, что число станций возрастает гораздо медленнее, например, как числа, образующие последовательность 1; 3,8; 8,5; 15,0 и т.д.
— Что за дьявольщина, — воскликнул мистер Шелл, — мои управляющие в Америке ничего не смыслят в своем деле! Ну скажите на милость, зачем им понадобилось сосредотачивать заправочные станции в окрестностях Канзас-Сити?
Прав ли мистер Шелл в своем заключении?
— В самом деле, прав ли он? — повторил мистер Томпкинс, мысли которого где-то витали.
— Мистер Шелл глубоко заблуждается, — мрачно изрек профессор. — Он упустил из виду, что поверхность Земли не плоская, а сферическая, а на сфере площадь, заключенная внутри круга данного радиуса, растет медленнее, чем на плоскости. Можете вы представить себе это наглядно? Нет? Тогда возьмите глобус и убедитесь сами в том, что я прав. Например, если вы находитесь на Северном полюсе, то окружность радиусом в половину меридиана есть не что иное, как экватор, а заключенная внутри нее площадь поверхности Земли есть площадь северного полушария. С увеличением радиуса площадь на поверхности сферы возрастает только вдвое, а не вчетверо, как было бы на плоскости. Теперь, надеюсь, ясно?
— О, да, — кивнул мистер Томпкинс, делая вид, будто он внимательно следит за объяснениями. — А что такое положительная или отрицательная кривизна?
— У сферы кривизна считается положительной. Как вы видели на примере земного шара, положительная кривизна соответствует конечной поверхности, имеющей конечную площадь. Примером поверхности с отрицательной кривизной может служить седло.
— Седло? — переспросил мистер Томпкинс.
— Да, седло, или на поверхности Земли седлообразный перевал между двумя горными вершинами. Предположим, что некий ботаник обитает в горной хижине, расположенной на таком седловидном перевале, и занимается изучением плотности сосен, растущих вокруг его жилища. Подсчитав число сосен, растущих не далее ста, двухсот, трехсот и т. д. футов от хижины, он обнаружит, что число сосен возрастает быстрее, чем квадрат расстояния, поскольку на седловидной поверхности площадь, заключенная внутри данного радиуса, растет быстрее, чем на плоскости. О таких поверхностях говорят, что они обладают отрицательной кривизной. Если вы попытаетесь, растянув, наложить седловидную поверхность на плоскость, то вам придется сделать складки. Если же вы задумаете наложить на плоскость сферическую поверхность, то вам придется где-то проделать в ней дырочку.
— Кажется, я начинаю понимать, — задумчиво произнес мистер Томпкинс. — Вы хотите сказать, что седловидная поверхность бесконечная, хотя и искривленная.
— Вот именно! — одобрительно кивнул профессор. — Седловидная поверхность простирается во все стороны до бесконечности и нигде не замыкается. Разумеется, в моем примере с седловидным перевалом поверхность перестает быть поверхностью отрицательной кривизны, как только вы спускаетесь с гор, и переходит в искривленную поверхность земного шара с положительной кривизной. Но, разумеется, ничто не мешает вам вообразить поверхность, сохраняющую повсюду отрицательную кривизну.
— Но какое отношение имеет все это к искривленному трехмерному пространству?
— Самое непосредственное. Представьте себе, что какие-то ваши объекты равномерно распределены по всему пространству. Под равномерным я понимаю такое распределение, при котором расстояние между любыми соседними объектами всегда одно и то же. Предположим, что вы подсчитываете число объектов, расположенных не далее того или иного расстояния от вас. Если это число растет как квадрат расстояния, то пространство плоское. Если же число объектов растет медленнее или быстрее, то пространство обладает соответственно положительной или отрицательной кривизной.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51