Причина его уверенности — в понятии математического доказательства. Поиск математического доказательства — это поиск знания, более точного, чем знание, накопленное какой-нибудь другой научной дисциплиной. Жажда постичь абсолютную истину с помощью метода доказательства двигала математиками на протяжении двух с половиной тысяч лет.
Абсолютное доказательство
История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое доказательство гораздо мощнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, и даже чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики или химики. Понимание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается каждый математик со времен Пифагора.
Классическое математическое доказательство начинается с серии аксиом — утверждений, которые можно предположить истинными или истинность которых самоочевидна. Затем с помощью логических рассуждений, шаг за шагом, можно прийти к заключению. Если аксиомы истинны, а логика безупречна, то заключение безупречно. Этим заключением и является теорема.
Математические теоремы опираются на такой логический процесс и, доказанные однажды, они остаются истинными до скончания веков. Математические доказательства абсолютны. Чтобы по достоинству оценить значительность абсолютных доказательств, их следует сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, например, в физике.
В физике гипотеза выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. Если наблюдения за явлением хорошо согласуются с гипотезой, то это свидетельствует в ее пользу, или, как принято говорить, подкрепляет выдвинутую гипотезу. Кроме того, гипотеза должна не только описывать известные процессы, но и предсказывать исход других процессов.
Для проверки предсказательной силы гипотезы могут проводиться эксперименты, и если они оказываются успешными, то это еще сильнее подкрепляет гипотезу. В конце концов, количество данных, свидетельствующих в пользу гипотезы, может оказаться достаточно большим, и гипотезу принимают в качестве физической теории.
Однако физическая теория никогда не может быть доказана на уровне, столь же абсолютном, как тот, на котором принято доказывать математические теоремы: на основе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной лишь с большей или меньшей вероятностью. Так называемое физическое, или, более общо, естественнонаучное доказательство, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами чувств. И те, и другие обманчивы и дают лишь приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Хотя это может показаться парадоксом, все точные науки пронизаны идеей приближения».
Даже наиболее широко признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Иногда сомнение становится меньше; но оно никогда не исчезает полностью. Иногда выясняется, что предложенное доказательство неверно. Слабость физического доказательства приводит к научным революциям, во время которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая может быть всего лишь уточнением прежней теории, а может полностью противоречить ей.
Например, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» или, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска мельчайших «кирпичиков», из которых построена Вселенная, начался в первые годы XIX века, когда в результате серии экспериментов Джон Дальтон пришел к гипотезе о том, что все в мире состоит из отдельных атомов и что эти атомы — мельчайшие частицы материи.
В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом перестал быть мельчайшей частицей материи.
В начале XX века физики построили «полную» теорию атома: вокруг ядра, состоящего из протонов и нейронов, обращаются электроны. Протоны, нейроны и электроны были горделиво провозглашены физиками полным набором ингредиентов, из которых состоит Вселенная. Затем анализ космических лучей обнаружил существование других элементарных частиц — пионов и мюонов. Еще больший переворот в физике произошел в 1932 году, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сказать, сколько существует различных частиц, но по крайней мере утверждали, что обнаруженные частицы действительно элементарны, т. е. неделимы. Так продолжалось до 60-х годов, когда появилось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, пион и мюон, оказался состоящим из кварков, несущих электрический заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей этой истории в том, что физики непрестанно меняют свою картину мира, а иногда даже стирают ее совсем и начинают рисовать с самого начала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, которые, возможно, послужат наилучшему объяснению гравитации. Согласно теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие маленькие, что они кажутся точками) могут совершать различные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление аналогично открытию Пифагора, обнаружившего, что одна струна лиры может порождать различные ноты в зависимости от того, как она колеблется.
Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что если какой-нибудь знаменитый профессор утверждает, будто нечто несомненно истинно, то весьма вероятно, что на следующий день это нечто окажется ложным. Физическое доказательство ненадежно и шатко. В то же время математическое доказательство абсолютно и лишено и тени сомненья. Пифагор умер в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется истинной навсегда.
Физика живет, словно подчиняясь решению суда. Теория считается верной, если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не полагается на данные, полученные в результате могущих оказаться ошибочными экспериментов, а строит свои заключения на основе «железной», т. е. не знающей ошибок, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
Абсолютное доказательство
История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое доказательство гораздо мощнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, и даже чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики или химики. Понимание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается каждый математик со времен Пифагора.
Классическое математическое доказательство начинается с серии аксиом — утверждений, которые можно предположить истинными или истинность которых самоочевидна. Затем с помощью логических рассуждений, шаг за шагом, можно прийти к заключению. Если аксиомы истинны, а логика безупречна, то заключение безупречно. Этим заключением и является теорема.
Математические теоремы опираются на такой логический процесс и, доказанные однажды, они остаются истинными до скончания веков. Математические доказательства абсолютны. Чтобы по достоинству оценить значительность абсолютных доказательств, их следует сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, например, в физике.
В физике гипотеза выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. Если наблюдения за явлением хорошо согласуются с гипотезой, то это свидетельствует в ее пользу, или, как принято говорить, подкрепляет выдвинутую гипотезу. Кроме того, гипотеза должна не только описывать известные процессы, но и предсказывать исход других процессов.
Для проверки предсказательной силы гипотезы могут проводиться эксперименты, и если они оказываются успешными, то это еще сильнее подкрепляет гипотезу. В конце концов, количество данных, свидетельствующих в пользу гипотезы, может оказаться достаточно большим, и гипотезу принимают в качестве физической теории.
Однако физическая теория никогда не может быть доказана на уровне, столь же абсолютном, как тот, на котором принято доказывать математические теоремы: на основе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной лишь с большей или меньшей вероятностью. Так называемое физическое, или, более общо, естественнонаучное доказательство, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами чувств. И те, и другие обманчивы и дают лишь приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Хотя это может показаться парадоксом, все точные науки пронизаны идеей приближения».
Даже наиболее широко признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Иногда сомнение становится меньше; но оно никогда не исчезает полностью. Иногда выясняется, что предложенное доказательство неверно. Слабость физического доказательства приводит к научным революциям, во время которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая может быть всего лишь уточнением прежней теории, а может полностью противоречить ей.
Например, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» или, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска мельчайших «кирпичиков», из которых построена Вселенная, начался в первые годы XIX века, когда в результате серии экспериментов Джон Дальтон пришел к гипотезе о том, что все в мире состоит из отдельных атомов и что эти атомы — мельчайшие частицы материи.
В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом перестал быть мельчайшей частицей материи.
В начале XX века физики построили «полную» теорию атома: вокруг ядра, состоящего из протонов и нейронов, обращаются электроны. Протоны, нейроны и электроны были горделиво провозглашены физиками полным набором ингредиентов, из которых состоит Вселенная. Затем анализ космических лучей обнаружил существование других элементарных частиц — пионов и мюонов. Еще больший переворот в физике произошел в 1932 году, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сказать, сколько существует различных частиц, но по крайней мере утверждали, что обнаруженные частицы действительно элементарны, т. е. неделимы. Так продолжалось до 60-х годов, когда появилось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, пион и мюон, оказался состоящим из кварков, несущих электрический заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей этой истории в том, что физики непрестанно меняют свою картину мира, а иногда даже стирают ее совсем и начинают рисовать с самого начала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, которые, возможно, послужат наилучшему объяснению гравитации. Согласно теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие маленькие, что они кажутся точками) могут совершать различные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление аналогично открытию Пифагора, обнаружившего, что одна струна лиры может порождать различные ноты в зависимости от того, как она колеблется.
Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что если какой-нибудь знаменитый профессор утверждает, будто нечто несомненно истинно, то весьма вероятно, что на следующий день это нечто окажется ложным. Физическое доказательство ненадежно и шатко. В то же время математическое доказательство абсолютно и лишено и тени сомненья. Пифагор умер в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется истинной навсегда.
Физика живет, словно подчиняясь решению суда. Теория считается верной, если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не полагается на данные, полученные в результате могущих оказаться ошибочными экспериментов, а строит свои заключения на основе «железной», т. е. не знающей ошибок, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88