Третье совершенное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.
Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n , где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:
22 = 2·2 = 4 , делители 1, 2, сумма 3 ,
23 = 2·2·2 = 8 , делители 1, 2, 4, сумма 7 ,
24 = 2·2·2·2 = 16 , делители 1, 2, 4, 8, сумма 15 ,
25 = 2·2·2·2·2 = 32 , делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31 .
Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
6 = 21·(22 — 1),
28 = 22·(23 — 1),
496 = 24·(25 — 1),
8128 = 26·(27 — 1).
Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2216090·(2216091 — 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
Пифагор восхищался разнообразием структуры и свойствами совершенных чисел и с почтением относился к их тонкости и коварству. На первый взгляд, совершенство — свойство, сравнительно простое для понимания. Тем не менее, древние греки так и не сумели постичь некоторые фундаментальные особенности совершенных чисел. Так, хотя они знали множество слегка недостаточных чисел (т. е. чисел сумма делителей которых на единицу меньше самого числа), им не удалось найти слегка избыточное число (т. е. число сумма делителей которого на единицу больше самого числа). Они не сумели также доказать, что таких чисел не существует.
Хотя никакого практического значения эта задача не имела, ее решение могло бы прояснить природу совершенных чисел, и поэтому она заслуживала изучения. Такого рода загадки интриговали пифагорейское братство, и спустя две с половиной тысячи лет математики все еще не могут доказать, что слегка избыточные числа не существуют.
Всё сущее есть число
Помимо изучения соотношений между числами Пифагора интересовала взаимосвязь между числами и природой. Он понимал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.
Самым важным инструментом в древнегреческой музыке был тетрахорд, или четырехструнная лира. И до Пифагора музыканты ценили те ноты, которые при совместном звучании создавали приятный эффект, и настраивали свои лиры так, чтобы при пощипывании двух струн возникала гармония. Но музыканты не понимали, почему те или иные сочетания нот гармоничны, и не обладали объективной системой для настройки своих инструментов. Лиры они настраивали только по слуху, пока не устанавливалось гармоническое звучание струн, — с помощью процесса, который Платон называл пыткой настроечных колков.
Ямвлих, ученый, живший в IV веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, рассказывает о том, как Пифагор пришел к открытию принципов, лежащих в основе музыкальной гармонии.
«Однажды Пифагор был глубоко погружен в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, линейкам и оптическим инструментам, измышленным для зрения… Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки».
Как рассказывает далее Ямвлих, Пифагор, сгорая от нетерпения, вбежал в кузницу, чтобы выяснить, как возникает гармония молотов. Он заметил, что большинство молотов, если ими ударить одновременно, порождают гармоническое звучание, но одна комбинация молотов всегда порождала неприятное звучание. Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор понял, что те, которые издавали гармоническое звучание, находились в простом математическом отношении: их массы образовывали друг с другом простые отношения, или дроби. Иначе говоря, молоты, вес которых составляет половину, две трети или три четверти веса какого-то определенного веса, порождают гармонические звучания. С другой стороны, молот, порождающий дисгармонию (если ударить им одновременно с любым из других молотов), имеет вес, не образующий простого отношения с весом любого из других молотов.
Пифагор открыл, что простые отношения чисел отвечают за гармонию в музыке. Ученые усомнились в правдивости истории, рассказанной Ямвлихом о Пифагоре. Более достоверно известно, что Пифагор применил свою новую теорию музыкальных отношений к лире, рассматривая свойства одной струны. Если просто ущипнуть струну, то возникает стандартная нота, или тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, можно породить другие колебания и тоны, как показано на рис. 1. Важно то, что гармонические тона возникают только при зажиме струны в определенных точках.
Например, зажав струну точно посередине и затем ущипнув ее, мы получим тон октавой выше в гармоническом созвучии с первоначальном тоном. Если струну зажать на расстоянии одной трети, четверти или пятой длины от конца, то получатся другие гармонические тона. Но стоит зажать струну в точке, отстоящей от конца на расстоянии, не образующем простую дробь с длиной струны, как издаваемый струной звук не будет гармонировать с другими тонами.
Рис. 1. Свободно колеблющаяся открытая струна издает основной тон. Если точно посредине струны создать узел колебания, то издаваемая струной нота станет на октаву выше и будет гармонировать с исходной нотой. Другие гармоники мы получим, перемещая узел в другие положения, соответствующие простым дробям (например, трети, четвертой или пятой части) от полной длины струны
Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.
Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n , где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:
22 = 2·2 = 4 , делители 1, 2, сумма 3 ,
23 = 2·2·2 = 8 , делители 1, 2, 4, сумма 7 ,
24 = 2·2·2·2 = 16 , делители 1, 2, 4, 8, сумма 15 ,
25 = 2·2·2·2·2 = 32 , делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31 .
Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
6 = 21·(22 — 1),
28 = 22·(23 — 1),
496 = 24·(25 — 1),
8128 = 26·(27 — 1).
Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2216090·(2216091 — 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
Пифагор восхищался разнообразием структуры и свойствами совершенных чисел и с почтением относился к их тонкости и коварству. На первый взгляд, совершенство — свойство, сравнительно простое для понимания. Тем не менее, древние греки так и не сумели постичь некоторые фундаментальные особенности совершенных чисел. Так, хотя они знали множество слегка недостаточных чисел (т. е. чисел сумма делителей которых на единицу меньше самого числа), им не удалось найти слегка избыточное число (т. е. число сумма делителей которого на единицу больше самого числа). Они не сумели также доказать, что таких чисел не существует.
Хотя никакого практического значения эта задача не имела, ее решение могло бы прояснить природу совершенных чисел, и поэтому она заслуживала изучения. Такого рода загадки интриговали пифагорейское братство, и спустя две с половиной тысячи лет математики все еще не могут доказать, что слегка избыточные числа не существуют.
Всё сущее есть число
Помимо изучения соотношений между числами Пифагора интересовала взаимосвязь между числами и природой. Он понимал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.
Самым важным инструментом в древнегреческой музыке был тетрахорд, или четырехструнная лира. И до Пифагора музыканты ценили те ноты, которые при совместном звучании создавали приятный эффект, и настраивали свои лиры так, чтобы при пощипывании двух струн возникала гармония. Но музыканты не понимали, почему те или иные сочетания нот гармоничны, и не обладали объективной системой для настройки своих инструментов. Лиры они настраивали только по слуху, пока не устанавливалось гармоническое звучание струн, — с помощью процесса, который Платон называл пыткой настроечных колков.
Ямвлих, ученый, живший в IV веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, рассказывает о том, как Пифагор пришел к открытию принципов, лежащих в основе музыкальной гармонии.
«Однажды Пифагор был глубоко погружен в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, линейкам и оптическим инструментам, измышленным для зрения… Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки».
Как рассказывает далее Ямвлих, Пифагор, сгорая от нетерпения, вбежал в кузницу, чтобы выяснить, как возникает гармония молотов. Он заметил, что большинство молотов, если ими ударить одновременно, порождают гармоническое звучание, но одна комбинация молотов всегда порождала неприятное звучание. Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор понял, что те, которые издавали гармоническое звучание, находились в простом математическом отношении: их массы образовывали друг с другом простые отношения, или дроби. Иначе говоря, молоты, вес которых составляет половину, две трети или три четверти веса какого-то определенного веса, порождают гармонические звучания. С другой стороны, молот, порождающий дисгармонию (если ударить им одновременно с любым из других молотов), имеет вес, не образующий простого отношения с весом любого из других молотов.
Пифагор открыл, что простые отношения чисел отвечают за гармонию в музыке. Ученые усомнились в правдивости истории, рассказанной Ямвлихом о Пифагоре. Более достоверно известно, что Пифагор применил свою новую теорию музыкальных отношений к лире, рассматривая свойства одной струны. Если просто ущипнуть струну, то возникает стандартная нота, или тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, можно породить другие колебания и тоны, как показано на рис. 1. Важно то, что гармонические тона возникают только при зажиме струны в определенных точках.
Например, зажав струну точно посередине и затем ущипнув ее, мы получим тон октавой выше в гармоническом созвучии с первоначальном тоном. Если струну зажать на расстоянии одной трети, четверти или пятой длины от конца, то получатся другие гармонические тона. Но стоит зажать струну в точке, отстоящей от конца на расстоянии, не образующем простую дробь с длиной струны, как издаваемый струной звук не будет гармонировать с другими тонами.
Рис. 1. Свободно колеблющаяся открытая струна издает основной тон. Если точно посредине струны создать узел колебания, то издаваемая струной нота станет на октаву выше и будет гармонировать с исходной нотой. Другие гармоники мы получим, перемещая узел в другие положения, соответствующие простым дробям (например, трети, четвертой или пятой части) от полной длины струны
Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88