И. Менделеева определяются простой формулой
натурального элемента (N=2n"2", где N - число
элементов в периоде, n - натуральный аргумент). Число химических
элементов конечно, поэтому следует уточнить, что в приведенном примере (и
во многих других в качестве модели реального явления используется только
отрезок натурального ряда, чаще всего начальный.
Многие иные математические объекты, применяющиеся в математических
описаниях, у которых натуральное число является параметром, закономерно
изменяют свои свойства при последовательном увеличении натурального
параметра. Так, при увеличении числа аргументов логической функции быстро
возрастают число и разнообразие самих функций, повышаются их логические
возможности. С возрастанием порядка линейных дифференциальных
уравнений изменяется характер устойчивости их решений. С повышением порядка
связности геометрических фигур изменяются их свойства, усложняется
конфигурация. Например, тор обладает рядом свойств, которыми не обладает
шар.
С помощью целочисленных или натуральных аргументов удобно квантовать
непрерывный диапазон изменения функций, определяемых на объекте системного
описания. В этом состоит один из принципов декомпозиции, дискретизации,
разбиения множества элементов на подмножества. Очень часто оказывается, что
найденные таким способом значения функции соответствуют средним, граничным
или экстремальным значениям параметров, характеризующим объект описания.
При нормированных шкалах такие значения будут одинаковыми для всех объектов
выборки и являются средством стандартизации описаний. Пример значений
функции z приведен на рис. 1:
===========Формула стр. 103===========
Другой пример рассмотрим в связи с исследованием пропорций лица человека.
V. 1. 2. Метод дифференциальных пропорций. В антропометрии
используются как абсолютные, так и относительные величины человеческого
тела. Относительные величины (индексы) менее вариативны. Введем некоторое
множество относительных величин для измерения пропорций лица (точно в
фас). Воспользуемся для этого схемой пропорций лица человека, предложенной
М. Гика (рис. 8).
На схеме лицо человека вписано в прямоугольник, а через визуально
фиксируемые и функционально значимые точки лица проведены горизонтальные и
вертикальные линии, которые разбиваю описанный вокруг лица прямоугольник на
множество меньших прямоугольников. Часть из этих прямоугольников имеет
пропорции, равные значениям целочисленной показательной функции
y=*"n", где * - константа золотого сечения
(*=1,618), а n - целое число. Так, например, следующие
отношения равны:
==============Формула 1 стр. 104===========
Лицо с такими пропорциями имеет вполне правильные черты, и его можно
принять за некоторый эталон, норматив лица человека.
---------Картинка стр. 104-------
Рис. 8. Схема пропорций лица человека (по М. Гика).
-----------------------
Пропорции лица конкретного человека будут отличаться от пропорций
нормативного лица. Для его описания воспользуемся теми же измерениями, а их
результаты сравним путем вычитания со значениями соответствующих измерений
нормативного лица. Совокупность полученных разностей примем за метрическую
характеристику данного человека. Так, например, для конкретного человека
были получены следующие значения разностей:
===========Формула 2 стр. 104==========
Такой метод описания лица назовем методом дифференциальных пропорций.
Функция y=*"n" играет здесь роль метрического базиса,
наличие которого позволяет сравнивать между собой пропорции лиц в любых
выборках. Множество дифференциальных отношений может быть подвергнуто
дальнейшей статистической обработке.
V. 1. 3. Музыкальная шкала. Еще одним примером квантования может
служить разбиение непрерывного частотного диапазона октавы на двенадцать
полутонов при помощи показательной функции натурального аргумента #
(табл. 2). Как известно, в музыке используются звуки, находящиеся между
собой в определенных звуко-высотных отношениях. Выбор их основан на явлениях
консонанса и диссонанса.
Совокупность музыкальных звуков образует систему, в которой имеется
единство противоположностей, а также консонансов и диссонансов, благозвучий
и неблагозвучий при доминировании первых (ибо в противном случае система бы
"развалилась"). Существует иерархия консонансов и диссонансов
(абсолютный консонанс, совершенный консонанс и т. д.). Абсолютным
консонансом характеризуется созвучие, образованное из звуков с равными
частотами. Как совершенный консонанс воспринимается созвучие из двух звуков,
отличающихся по частоте в два раза. Кратное отношение частот звуков
называются музыкальными интервалами. Интервал с отношением частот 2 : 1
именуется октавой.
Именно октава является основой первичного квантования непрерывной частотной
шкалы звуков. Если считать, что человек воспринимает звуки в диапазоне 16
- 16 000 Гц, то легко подсчитать, что здесь укладывается приблизительно 10
октав. Таким образом, совершенный консонанс приводит к шкале октав или к
шкале удвоения. Все октавы подобны друг другу, каждая обладает
относительной целостностью, поэтому дальнейшее рассмотрение ограничим
пределами одной октавы.
Шкала удвоения является частным случаем показательной функции, у которой
аргумент принимает целочисленные значения. Октава делится на двенадцать
равных интервалов, именуемых полутонами. Такой строй называется
темперированным. Очевидно, что внутри октавы в этом случае звуки
располагаются по показательному закону #, где y - относительная
частота звука (величина интервала), k - целое число, изменяющееся в
пределах от 0 до 12. На практике величины интервалов несколько отличаются
(по разным причинам) от расчетных, но эти различия незначительны, они не
превосходят половины процента. Примерно такую степень отклонения величины
интервала фиксируют люди с абсолютным звуко-высотным слухом.
Точность музыкальной шкалы значительно выше точности психологических и
психофизических шкал. Методической структуре музыкальной шкалы соответствует
метрическая структура восприятия музыки. Можно утверждать, что по крайней
мере у людей с развитым музыкальным слухом структура слухового восприятия
имеет регулярную основу.
--------------Картинка стр. 106------
Таблица 2. Метрические отношения музыкальной шкалы
----------------------------
В табл. 2 приведены абсолютные частоты звуковой октавы для фортепиано,
соответствующие им величины реальных интервалов, расчетные величины
интервалов (значения функции y), аппроксимация этих значений
целочисленными отношениями. Для сравнения приведена нетемперированная шкала
музыкальных интервалов, которые вычисляются также как значения показательной
функции, но с меньшим основанием, чем у функции y [31].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
натурального элемента (N=2n"2", где N - число
элементов в периоде, n - натуральный аргумент). Число химических
элементов конечно, поэтому следует уточнить, что в приведенном примере (и
во многих других в качестве модели реального явления используется только
отрезок натурального ряда, чаще всего начальный.
Многие иные математические объекты, применяющиеся в математических
описаниях, у которых натуральное число является параметром, закономерно
изменяют свои свойства при последовательном увеличении натурального
параметра. Так, при увеличении числа аргументов логической функции быстро
возрастают число и разнообразие самих функций, повышаются их логические
возможности. С возрастанием порядка линейных дифференциальных
уравнений изменяется характер устойчивости их решений. С повышением порядка
связности геометрических фигур изменяются их свойства, усложняется
конфигурация. Например, тор обладает рядом свойств, которыми не обладает
шар.
С помощью целочисленных или натуральных аргументов удобно квантовать
непрерывный диапазон изменения функций, определяемых на объекте системного
описания. В этом состоит один из принципов декомпозиции, дискретизации,
разбиения множества элементов на подмножества. Очень часто оказывается, что
найденные таким способом значения функции соответствуют средним, граничным
или экстремальным значениям параметров, характеризующим объект описания.
При нормированных шкалах такие значения будут одинаковыми для всех объектов
выборки и являются средством стандартизации описаний. Пример значений
функции z приведен на рис. 1:
===========Формула стр. 103===========
Другой пример рассмотрим в связи с исследованием пропорций лица человека.
V. 1. 2. Метод дифференциальных пропорций. В антропометрии
используются как абсолютные, так и относительные величины человеческого
тела. Относительные величины (индексы) менее вариативны. Введем некоторое
множество относительных величин для измерения пропорций лица (точно в
фас). Воспользуемся для этого схемой пропорций лица человека, предложенной
М. Гика (рис. 8).
На схеме лицо человека вписано в прямоугольник, а через визуально
фиксируемые и функционально значимые точки лица проведены горизонтальные и
вертикальные линии, которые разбиваю описанный вокруг лица прямоугольник на
множество меньших прямоугольников. Часть из этих прямоугольников имеет
пропорции, равные значениям целочисленной показательной функции
y=*"n", где * - константа золотого сечения
(*=1,618), а n - целое число. Так, например, следующие
отношения равны:
==============Формула 1 стр. 104===========
Лицо с такими пропорциями имеет вполне правильные черты, и его можно
принять за некоторый эталон, норматив лица человека.
---------Картинка стр. 104-------
Рис. 8. Схема пропорций лица человека (по М. Гика).
-----------------------
Пропорции лица конкретного человека будут отличаться от пропорций
нормативного лица. Для его описания воспользуемся теми же измерениями, а их
результаты сравним путем вычитания со значениями соответствующих измерений
нормативного лица. Совокупность полученных разностей примем за метрическую
характеристику данного человека. Так, например, для конкретного человека
были получены следующие значения разностей:
===========Формула 2 стр. 104==========
Такой метод описания лица назовем методом дифференциальных пропорций.
Функция y=*"n" играет здесь роль метрического базиса,
наличие которого позволяет сравнивать между собой пропорции лиц в любых
выборках. Множество дифференциальных отношений может быть подвергнуто
дальнейшей статистической обработке.
V. 1. 3. Музыкальная шкала. Еще одним примером квантования может
служить разбиение непрерывного частотного диапазона октавы на двенадцать
полутонов при помощи показательной функции натурального аргумента #
(табл. 2). Как известно, в музыке используются звуки, находящиеся между
собой в определенных звуко-высотных отношениях. Выбор их основан на явлениях
консонанса и диссонанса.
Совокупность музыкальных звуков образует систему, в которой имеется
единство противоположностей, а также консонансов и диссонансов, благозвучий
и неблагозвучий при доминировании первых (ибо в противном случае система бы
"развалилась"). Существует иерархия консонансов и диссонансов
(абсолютный консонанс, совершенный консонанс и т. д.). Абсолютным
консонансом характеризуется созвучие, образованное из звуков с равными
частотами. Как совершенный консонанс воспринимается созвучие из двух звуков,
отличающихся по частоте в два раза. Кратное отношение частот звуков
называются музыкальными интервалами. Интервал с отношением частот 2 : 1
именуется октавой.
Именно октава является основой первичного квантования непрерывной частотной
шкалы звуков. Если считать, что человек воспринимает звуки в диапазоне 16
- 16 000 Гц, то легко подсчитать, что здесь укладывается приблизительно 10
октав. Таким образом, совершенный консонанс приводит к шкале октав или к
шкале удвоения. Все октавы подобны друг другу, каждая обладает
относительной целостностью, поэтому дальнейшее рассмотрение ограничим
пределами одной октавы.
Шкала удвоения является частным случаем показательной функции, у которой
аргумент принимает целочисленные значения. Октава делится на двенадцать
равных интервалов, именуемых полутонами. Такой строй называется
темперированным. Очевидно, что внутри октавы в этом случае звуки
располагаются по показательному закону #, где y - относительная
частота звука (величина интервала), k - целое число, изменяющееся в
пределах от 0 до 12. На практике величины интервалов несколько отличаются
(по разным причинам) от расчетных, но эти различия незначительны, они не
превосходят половины процента. Примерно такую степень отклонения величины
интервала фиксируют люди с абсолютным звуко-высотным слухом.
Точность музыкальной шкалы значительно выше точности психологических и
психофизических шкал. Методической структуре музыкальной шкалы соответствует
метрическая структура восприятия музыки. Можно утверждать, что по крайней
мере у людей с развитым музыкальным слухом структура слухового восприятия
имеет регулярную основу.
--------------Картинка стр. 106------
Таблица 2. Метрические отношения музыкальной шкалы
----------------------------
В табл. 2 приведены абсолютные частоты звуковой октавы для фортепиано,
соответствующие им величины реальных интервалов, расчетные величины
интервалов (значения функции y), аппроксимация этих значений
целочисленными отношениями. Для сравнения приведена нетемперированная шкала
музыкальных интервалов, которые вычисляются также как значения показательной
функции, но с меньшим основанием, чем у функции y [31].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61