ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица – это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: ?–1.
– А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? – спросил Сева. – Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
– Ой-ой-ой! – ужаснулась Мнимая Единичка. – Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
– Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, – ответил Олег. – Это число три.
– Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
– М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!
– Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
– Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
– Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.
– Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
– Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое – знаком минус.
– Но как же мнимые числа отличают от действительных?
– С помощью буквы i: 2i, 5i, –8i, –12i.
– Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
– Конечно.
– А где же ваш коэффициент? – ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
– Мой коэффициент – единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
– Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?
– Вы отчасти правы, – ответила Мнимая Единичка. – Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i – 15i = – 7i, или вот еще: –3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i – 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело – умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре – арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и –1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и –i. На пересечении дорог, в центре арены, – Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
– К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички –1 и превратилась в действительное число – Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и – невероятно! – опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.
– Не понимаю, – сказал Сева. – Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная – опять в Мнимую… Как это?
– На то и возведение в степень! – отозвалась Мнимая Единичка. – Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = ?–1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
– Подкоренное число, – ответил Олег.
– Так это же мы недавно видели! – вспомнил Сева. – Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
– То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i = i * i = (?–1) = –1.
– Ну, это понятно. А как же действительное число – минус единица превращается в мнимое?
– При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i = i* i.
А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: –1 * i = –i.
– Теперь, – сказал Олег, – нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом –i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i = i * i
А это можно представить себе и так: –1 * –1 = +1.
– Прекрасно! – воскликнула Мнимая Единичка. – Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
– Не может быть! i равно i?! – растерялись мы. – Что же это такое?
– Да ничего особенного: i = 1. Чтобы получить i, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 * i = i.
– Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? – удивился Олег.
– Отчего же! – возразила Мнимая Единичка. – Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32