Повторяя подобную операцию со всеми парами собственных функций, получаем систему элементов, одни из которых относятся к одному стационарному состоянию, другие – к двум стационарным состояниям, т е. к переходам. Эти элементы располагают в таблицу, причем элементы первого типа помещают на диагонали (диагональные элементы). Каждой механической величине сопоставляется, таким образом, матрица. Вопрос теперь заключается лишь в том, можно ли отождествить эти матрицы и матрицы квантовой механики.
Ответ на этот вопрос утвердительный. Шредингер прежде всего показал, что матрицы, построенные только что описанным способом, должны удовлетворять, как и матрицы Гейзенберга, правилам сложения и перемножения алгебраических матриц. Кроме того, несколько странный путь, которым постоянная Планка проникла в квантовую механику, получил в концепции Шредингера немедленное объяснение. Произведение двух операторов, вообще говоря, не коммутирует: полученный результат зависит от порядка сомножителей.
Тем не менее во многих случаях два оператора, соответствующих механическим величинам, коммутируют. Однако имеется исключение, когда этими величинами являются координата и сопряженная компонента импульса, ибо оператор, отвечающий последнему, пропорционален производной по сопряженной координате, а операция «производная по некоторой переменной» не коммутирует, как легко видеть, с операцией умножение на эту переменную.
Отсюда немедленно следуют сформулированные Гейзенбергом правила перестановки. Чтобы завершить отождествление рассматриваемых матриц, остается лишь показать, что матрицы волновой механики подчиняются каноническим уравнениям квантовой механики. Вот как это было сделано: Шредингер показал, что из канонических уравнений строго следует, что волновые функции, использованные при конструировании матриц, обязательно удовлетворяют волновым уравнениям волновой механики. Короче говоря, канонические уравнения квантовой механики эквивалентны волновым уравнениям волновой механики.
Таким образом, оказалось, что обе формы новой механики сводятся одна к другой. Теперь больше не вызывает удивления тот факт, что они приводят в проблеме квантования к одинаковым результатам. Метод квантовой механики, оперирующий прямо с матрицами и не имеющий дела с промежуточными величинами – волновыми функциями, более компактен и часто быстрее приводит к желаемым результатам. Метод же волновой механики лучше удовлетворяет интуиции физиков и лучше согласуется с образом их мыслей. Поэтому на первый взгляд он кажется более естественным и удобным для работы. Действительно, большинство физиков пользуется волновым методом и при расчетах явно использует волновые функции.
4. Принцип соответствия в новой механике
Новая механика позволяет придать гораздо более точную форму принципу соответствия и частично устранить поводы для критики, которой он подвергался в рамках старой квантовой теории. Мы уже видели, как Бор пытался использовать разложение в ряд Фурье электрического момента, соответствующего в классической модели начальному или конечному состоянию квантового перехода, чтобы предсказать поляризацию и интенсивность излучения при этом переходе. В случае больших квантовых чисел этот метод вполне удовлетворителен и свободен от всяких неопределенностей.
Однако в случае средних и малых квантовых чисел, практически наиболее важном, возникают трудности и двусмысленности. Наоборот, в новой механике сразу получается весьма ясный способ применения принципа соответствия. Действительно, в матрице, отвечающей компоненте электрического момента, каждый переход описывается одним и только одним элементом. Рассматривая матричный элемент, соответствующий определенному переходу, как амплитуду данной компоненты дипольного момента для данного перехода, можно, пользуясь формулой, аналогичной классической формуле, дать необычайно точное и недвусмысленное предсказание характера излучения при данном переходе. Конечно, в этом способе остается недоказанным, насколько законно применять для расчета указанных интенсивностей формулы классического типа. Однако это утверждение – один из наиболее существенных постулатов метода соответствия. Если принять эту гипотезу, то больше не останется никакого произвола и нестрогости в применении принципа соответствия.
В такой строгой форме принцип соответствия был установлен Гейзенбергом при создании матричной механики. На язык волновой механики его «перевел» Шредингер. Эти выдающиеся физики даже предложили одно наглядное объяснение роли матричных элементов в расчете излучения. Электрон в атоме нельзя больше считать локализованным в каждый момент времени. Есть лишь определенная вероятность найти его в той или иной точке, вероятность, пропорциональная согласно принципу интерференции квадрату модуля волновой функции. Это позволяет нам считать электрон как бы размазанным внутри атома, а его электрический заряд – в среднем распределенным непрерывным образом. Согласно Шредингеру, можно было бы применить принцип соответствия, сказав, что все происходит таким образом, как будто электрическая система (изменяющаяся во времени) излучает в соответствии с классическими законами. На первый взгляд такая точка зрения кажется вполне удовлетворительной, ибо она позволяет нам вновь» получить боровский закон частот. Однако, изучив ее внимательнее, мы видим, что на этом пути возникают серьезные трудности, и от него приходится отказаться. В действительности процесс излучения при квантовых переходах является по своей сущности настолько дискретным, что его нельзя строго представить себе как излучение некоторым, пусть фиктивным, распределением электричества, происходящим по классическим законам. Единственная поистине корректная интерпретация роли матричных элементов заключается в том, что согласно идеям, установленным в связи с принципом соответствия, матричные элементы позволяют вычислить вероятность того, что некоторое состояние претерпевает в единицу времени определенный квантовый переход.
Принцип соответствия новой механики позволяет вычислить интенсивность и поляризацию спектральных линий и, что особенно важно, вновь получить правила отбора. 0:1 позволяет также решить огромное число задач, касающихся взаимодействия вещества и излучения, среди которых я укажу лишь на задачу рассеяния света и дисперсии. Теперь можно строго получить формулу Крамерса – Гейзенберга, выведенную ранее с помощью приближенных соображений соответствия.
Применение метода соответствия к изучению взаимодействия вещества и излучения дало вполне удовлетворительные результаты и определенно содержит большую долю истины.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72