Она "была совершенно непригодна
для исследования непрерывных процессов"54.
Однако математика Демокрита покоилась на некоторой наглядной механической
модели, которая могла оказаться плодотворной не столько для строго
математической мысли, сколько для построения некоторых вспомогательных
механических процедур, к которым стали прибегать математики эпохи
эллинизма, в частности Архимед. Нужно сказать, однако, что Архимед всегда
проводил четкую границу между этими своими механическими приемами и
собственно математическими доказательствами. "...Кое-что из того, что ранее
было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и
геометрически, так как рассмотрение при помощи этого (механического. -
П.Г.) метода еще не является доказательством; однако получить с помощью
этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а
затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить
изыскания, ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и
пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что
всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида - третью часть
призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я
уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно
упомянутых фигур, хотя и без доказательства"55.
Действительно, атомизм открывает простор для развития именно механических
методов, но методов, не смыкающихся со строго математическим
рассмотрением56, а потому, как говорит Архимед, "лишенных доказательства".
Однако тот же Архимед в своей работе "О шаре и цилиндре" говорит по поводу
теорем о пирамиде и конусе следующее: "Свойства эти остались неизвестными
многим жившим до Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли
на ум"57. Приведенная нами выше ссылка на Демокрита дана Архимедом в
сочинении "Эфод"58, найденном И. Гейбергом в начале ХХ в. В чем причина
такого несоответствия высказываний Архимеда? Можно допустить, что "Эфод"
написан Архимедом позднее, чем сочинение "О шаре и цилиндре", т.е. в
период, когда Архимед еще не был знаком с методами Демокрита. Однако
некоторые исследователи не согласны с таким допущением59.
Не вполне ясно также, в чем состоял тот "механический метод" Демокрита, о
котором говорит Архимед в "Эфоде". Сам Архимед не сообщает об этом; но
естественно, казалось бы, предположить, что Демокрит здесь прибегал к
приемам суммирования. Однако немецкий историк математики Э. Хоппе, обращая
внимание на употребление Архимедом выражения katanohJэnai, утверждает, что
Архимед не мог бы его употребить, если бы Демокрит пользовался приемами
суммирования. Хоппе полагает, что скорее Демокрит в качестве физика
определил объем конуса и пирамиды экспериментально, путем взвешивания самих
тел или соответствующих им объемов жидкостей60. Такое допущение вполне
объясняло бы, почему Архимед считал, что положения Демокрита о конусе и
цилиндре не сопровождались доказательствами, а потому носили не строго
математический, но механический характер. Однако за неимением других
подтверждений точки зрения Хоппе, кроме филологического анализа глагола
katanoЪw, трудно считать решенным вопрос о характере тех механических
методов Демокрита, о которых сообщает Архимед.
Но если Демокрит и прибегал именно к методу суммирования, то его способ
суммирования, как показал В.П. Зубов, должен был существенно отличаться от
того способа, каким пользовался в "Эфоде" Архимед. "Уже было сказано, -
пишет Зубов, - что для Демокрита характерным являлось разложение величин на
элементы того же порядка (тел - на тела) в отличие от
платоновско-пифагорейских математиков, разлагавших тела на плоскости,
плоскости - на линии, линии - на точки. В "Эфоде" Архимед пользуется не
первым, а вторым приемом. Метод его основан на принципе: то, что
справедливо в отношении каждой пары элементов, применимо и в отношении всех
элементов одной совокупности ко всем элементам другой совокупности -
"каждый к каждому, как все ко всем". Если А:а = В:b = С:с = = D:d и т.д.,
то (А + В + С + Д...):(a + b + c + d...) = А:а. Рассматривая площади как
совокупности всех линий, объемы - как совокупности всех площадей, Архимед
выводит ряд квадратур и кубатур, например, определяет объем части цилиндра,
вписанного в прямую призму с квадратным основанием, которая отсекается
плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания призмы и центр
нижнего основания.
Отличительной чертой такого доказательства является переход от соотношения
между величинами n-го измерения к соотношению между величинами n + 1
измерения. Это совсем не то, что построение тел из конечного числа
"неделимых тел", пусть даже число этих "неделимых" очень велико и они
практически не отличаются от точек"61.
Зубов, таким образом, показал, что "суммирование", к которому прибегает
Архимед, имеет в качестве своей предпосылки математические "неделимые", а
не физические атомы Демокрита, ибо, согласно исходным принципам Демокрита,
тела слагаются из неделимых тел, т.е. величин того же измерения.
Существенно иное истолкование получает проблема неделимых в эпоху
Возрождения, в частности у Галилея. Здесь в известном смысле теряет свое
значение характерное для античной науки различие математических и
физических неделимых, "точек" и "линий", с одной стороны, и неделимых тел,
"атомов", - с другой. Но это происходит благодаря радикальному изменению
исходных методологических принципов естествознания, пересмотру тех понятий,
которые были унаследованы от античной науки. Поэтому то, что было сделано в
эпоху Галилея, нельзя проецировать на греческую науку, что, по-видимому,
сделал С.Я. Лурье в своей работе "Теория бесконечно малых у древних
атомистов" (М.; Л., 1935).
Наука и философия нового времени строът совершенно новую модель связи
математики с физикой, и в свете этой новой модели античные программы,
оттесненные на задний план в средневековой науке, неожиданно приобретают
совершенно новое звучание: мы имеем в виду математическую программу
пифагорейцев и платоников, а также физическую программу Демокрита.
Чтобы избежать модернизации античной науки, в том числе и учения Демокрита,
необходимо, по-видимому, рассматривать его в условиях теоретической
ситуации того времени - как мыслителя, решающего вопросы, поставленные его
предшественниками и современниками, а не нами и не нашей современной
теоретической ситуацией. То же самое имеет силу и по отношению к другим
теоретическим позициям и научным школам.
Если не упускать из поля зрения, что ответ Демокрита был решением задач,
условия которых формулировались прежде всего двумя предшествующими
философскими направлениями - пифагорейцами и элеатами, то атомистическая
теория предстанет в исторической перспективе как физическая интерпретация
пифагорейского учения о "единицах", неделимых "монадах".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
для исследования непрерывных процессов"54.
Однако математика Демокрита покоилась на некоторой наглядной механической
модели, которая могла оказаться плодотворной не столько для строго
математической мысли, сколько для построения некоторых вспомогательных
механических процедур, к которым стали прибегать математики эпохи
эллинизма, в частности Архимед. Нужно сказать, однако, что Архимед всегда
проводил четкую границу между этими своими механическими приемами и
собственно математическими доказательствами. "...Кое-что из того, что ранее
было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и
геометрически, так как рассмотрение при помощи этого (механического. -
П.Г.) метода еще не является доказательством; однако получить с помощью
этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а
затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить
изыскания, ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и
пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что
всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида - третью часть
призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я
уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно
упомянутых фигур, хотя и без доказательства"55.
Действительно, атомизм открывает простор для развития именно механических
методов, но методов, не смыкающихся со строго математическим
рассмотрением56, а потому, как говорит Архимед, "лишенных доказательства".
Однако тот же Архимед в своей работе "О шаре и цилиндре" говорит по поводу
теорем о пирамиде и конусе следующее: "Свойства эти остались неизвестными
многим жившим до Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли
на ум"57. Приведенная нами выше ссылка на Демокрита дана Архимедом в
сочинении "Эфод"58, найденном И. Гейбергом в начале ХХ в. В чем причина
такого несоответствия высказываний Архимеда? Можно допустить, что "Эфод"
написан Архимедом позднее, чем сочинение "О шаре и цилиндре", т.е. в
период, когда Архимед еще не был знаком с методами Демокрита. Однако
некоторые исследователи не согласны с таким допущением59.
Не вполне ясно также, в чем состоял тот "механический метод" Демокрита, о
котором говорит Архимед в "Эфоде". Сам Архимед не сообщает об этом; но
естественно, казалось бы, предположить, что Демокрит здесь прибегал к
приемам суммирования. Однако немецкий историк математики Э. Хоппе, обращая
внимание на употребление Архимедом выражения katanohJэnai, утверждает, что
Архимед не мог бы его употребить, если бы Демокрит пользовался приемами
суммирования. Хоппе полагает, что скорее Демокрит в качестве физика
определил объем конуса и пирамиды экспериментально, путем взвешивания самих
тел или соответствующих им объемов жидкостей60. Такое допущение вполне
объясняло бы, почему Архимед считал, что положения Демокрита о конусе и
цилиндре не сопровождались доказательствами, а потому носили не строго
математический, но механический характер. Однако за неимением других
подтверждений точки зрения Хоппе, кроме филологического анализа глагола
katanoЪw, трудно считать решенным вопрос о характере тех механических
методов Демокрита, о которых сообщает Архимед.
Но если Демокрит и прибегал именно к методу суммирования, то его способ
суммирования, как показал В.П. Зубов, должен был существенно отличаться от
того способа, каким пользовался в "Эфоде" Архимед. "Уже было сказано, -
пишет Зубов, - что для Демокрита характерным являлось разложение величин на
элементы того же порядка (тел - на тела) в отличие от
платоновско-пифагорейских математиков, разлагавших тела на плоскости,
плоскости - на линии, линии - на точки. В "Эфоде" Архимед пользуется не
первым, а вторым приемом. Метод его основан на принципе: то, что
справедливо в отношении каждой пары элементов, применимо и в отношении всех
элементов одной совокупности ко всем элементам другой совокупности -
"каждый к каждому, как все ко всем". Если А:а = В:b = С:с = = D:d и т.д.,
то (А + В + С + Д...):(a + b + c + d...) = А:а. Рассматривая площади как
совокупности всех линий, объемы - как совокупности всех площадей, Архимед
выводит ряд квадратур и кубатур, например, определяет объем части цилиндра,
вписанного в прямую призму с квадратным основанием, которая отсекается
плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания призмы и центр
нижнего основания.
Отличительной чертой такого доказательства является переход от соотношения
между величинами n-го измерения к соотношению между величинами n + 1
измерения. Это совсем не то, что построение тел из конечного числа
"неделимых тел", пусть даже число этих "неделимых" очень велико и они
практически не отличаются от точек"61.
Зубов, таким образом, показал, что "суммирование", к которому прибегает
Архимед, имеет в качестве своей предпосылки математические "неделимые", а
не физические атомы Демокрита, ибо, согласно исходным принципам Демокрита,
тела слагаются из неделимых тел, т.е. величин того же измерения.
Существенно иное истолкование получает проблема неделимых в эпоху
Возрождения, в частности у Галилея. Здесь в известном смысле теряет свое
значение характерное для античной науки различие математических и
физических неделимых, "точек" и "линий", с одной стороны, и неделимых тел,
"атомов", - с другой. Но это происходит благодаря радикальному изменению
исходных методологических принципов естествознания, пересмотру тех понятий,
которые были унаследованы от античной науки. Поэтому то, что было сделано в
эпоху Галилея, нельзя проецировать на греческую науку, что, по-видимому,
сделал С.Я. Лурье в своей работе "Теория бесконечно малых у древних
атомистов" (М.; Л., 1935).
Наука и философия нового времени строът совершенно новую модель связи
математики с физикой, и в свете этой новой модели античные программы,
оттесненные на задний план в средневековой науке, неожиданно приобретают
совершенно новое звучание: мы имеем в виду математическую программу
пифагорейцев и платоников, а также физическую программу Демокрита.
Чтобы избежать модернизации античной науки, в том числе и учения Демокрита,
необходимо, по-видимому, рассматривать его в условиях теоретической
ситуации того времени - как мыслителя, решающего вопросы, поставленные его
предшественниками и современниками, а не нами и не нашей современной
теоретической ситуацией. То же самое имеет силу и по отношению к другим
теоретическим позициям и научным школам.
Если не упускать из поля зрения, что ответ Демокрита был решением задач,
условия которых формулировались прежде всего двумя предшествующими
философскими направлениями - пифагорейцами и элеатами, то атомистическая
теория предстанет в исторической перспективе как физическая интерпретация
пифагорейского учения о "единицах", неделимых "монадах".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107