Поэтому последний, приступая к
построению космоса, начал с того, что упорядочил эти четыре рода с помощью
образов и чисел".
Образцы, о которых здесь говорит Платон, это тоже математические
определения; он имеет в виду очертания геометрических тел, которые, как мы
уже знаем, внутренне связаны с числами и являют пространственное воплощение
последних. Согласно Платону, то, что мы видим как свойства природных
элементов и вообще воспринимаем с помощью нашего тела - что, например,
огонь красен, горяч, а земля плотна, тяжела, непрозрачна и т.д., - все эти
свойства чаще ничего не говорят нам о том, что такое огонь и земля сами по
себе. Чтобы узнать это, нужно выяснить, с помощью каких образов и чисел
упорядочил бог эти стихии, т.е. нужно выяснить математические определения
этих стихий.
Посмотрим, в чем же, по Платону, состоят эти математические определения.
"Во-первых, каждому, разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух
суть тела, а всякая форма тела имеет глубину. Между тем любая глубина по
необходимости должна быть ограничена природой поверхности; притом всякая
плоская поверхность состоит из треугольников. Однако все вообще
треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому
углу и по два острых, но при этом у одного по обе стороны от прямого угла
лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные
неравными сторонами. Здесь-то мы и полагаем начало огня и всех прочих тел,
следуя в этом вероятности, соединенной с необходимостью; те же начала, что
лежат еще ближе к истоку, ведает эог, а из людей разве что тот, кто друг
эогу".
В этом отрывке Платон прежде всего вводит геометрическое понятие тела: это
глубина, ограниченная поверхностью, т.е. стереометрический объект. Затем он
поясняет геометрическое понятие поверхности: поверхность "состоит" из
треугольников. Что касается треугольников, то Платон в качестве их исходной
("образцовой") формы указывает два вида: прямоугольные равнобедренные
треугольники (с соотношением сторон 1:1: EMBED Equation.2 ) и
треугольники, представляющие собой половину равностороннего треугольника, в
которых гипотенуза вдвое больше одного из катетов; соотношение сторон здесь
1: EQ \R(3) :2.
Из этих треугольников и образованы тела, которые составляют математическую
сущность огня, воздуха, воды и земли. Три из них "слагаются из одного и
того же неравнобедренного треугольника, и только четвертый род - из
равнобедренного... Начнем с первого вида, состоящего из самых малых частей:
его первоначало - треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего
катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и
повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и
гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного
числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним (рис. 6).
Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три
двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который
занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение
четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство
делить всю описанную около него сферу на равные и подобные части" (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
"Первый объемный вид", т.е. первое стереометрическое тело - это простейшая
пирамида - четырехгранник (тетраэдр), построение которой и описывает
Платон. Аналогичным образом строятся и два других правильных многогранника
- восьмигранник (октаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр). Четвертое же "тело"
строится из равнобедренных треугольников, "и притом так, что четыре
треугольника, прямые углы которых встречались в одном центре, образовывали
квадрат; а из сложения шести квадратов возникало восемь объемных углов,
каждый из которых гармонично охватывался тремя плоскими прямыми углами.
Составившееся таким образом тело имело очертания куба, наделенного шестью
квадратными плоскими гранями".
Платон здесь, собственно, обращается к открытию Теэтета, построившего
четыре правильных многогранника, что, по-видимому, вызвало восхищение
Платона и произвело на него сильное впечатление. Платон, видимо, впервые
решил с помощью открытия Теэтета дать объяснение математической "структуры"
космических элементов, т.е. применить это открытие в своей "космогонии".
Это его тем более привлекало, что возникала возможность установить
пропорциональные отношения между стихиями, чего никто до него, вероятно, не
пытался сделать, но что было признано главным средством познания объектов в
рамках математической программы пифагорейцев и платоников. "Если нам
удастся попасть в точку, - говорит Платон, - у нас в руках будет истина о
рождении земли и огня, а равно и тех стихий, что стоят между ними как
средние члены пропорции" (курсив мой. - П.Г.).
Что дает нам знание пропорциональных отношений? Оно позволяет сравнивать
между собой различные объекты и тем самым устанавливать тождество их
отношений. Такого рода знание мы, согласно Платону, можем получить, если
установим пропорцию между четырьмя элементами. А последнюю мы можем
установить, установив в свою очередь соответствие между стихиями и
правильными стереометрическими объектами, которые описал Платон. Такое
соответствие Платон и устанавливает: четырехгранник (тетраэдр)
соответствует огню, восьмигранник (октаэдр) - воздуху, двадцатигранник
(икосаэдр) - воде, а шестигранник, или куб, соответствует земле. Основания,
из которых исходил Платон, устанавливая именно такое соответствие, он
указывает вполне недвусмысленно: каждое из правильных тел имеет
определенные свойства, которые должны максимально соответствовать известным
из опыта свойствам четырех элементов. Земле соответствует куб, потому что
он - самое устойчивое из геометрических тел, а земля отличается именно
своей неподвижностью, устойчивостью; огню - тетраэдр, ибо последний
наиболее, вроде бы, "сходствует" с подвижной и легкой стихией огня и к тому
же имеет наиболее острые грани и углы (режет, жжет, всюду легко проникает).
Аналогичны и рассуждения о воде и воздухе.
Приводя в соответствие геометрическую "сущность" элементов с их
чувственными свойствами, Платон постоянно подчеркивает всего лишь
правдоподобный характер своих разысканий (см. Тимей. 56, 56с), который
объясняется всюду присутствующей "природой необходимости" (56с). Несмотря
на эти постоянные оговорки, он, конечно же, не смог предотвратить той
критики, с которой обрушились на него физики, и прежде всего его ученик
Аристотель.
Но не в соотношениях очертаний фигур с чувственными свойствами природных
элементов лежит центр тяжести рассуждений Платона.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
построению космоса, начал с того, что упорядочил эти четыре рода с помощью
образов и чисел".
Образцы, о которых здесь говорит Платон, это тоже математические
определения; он имеет в виду очертания геометрических тел, которые, как мы
уже знаем, внутренне связаны с числами и являют пространственное воплощение
последних. Согласно Платону, то, что мы видим как свойства природных
элементов и вообще воспринимаем с помощью нашего тела - что, например,
огонь красен, горяч, а земля плотна, тяжела, непрозрачна и т.д., - все эти
свойства чаще ничего не говорят нам о том, что такое огонь и земля сами по
себе. Чтобы узнать это, нужно выяснить, с помощью каких образов и чисел
упорядочил бог эти стихии, т.е. нужно выяснить математические определения
этих стихий.
Посмотрим, в чем же, по Платону, состоят эти математические определения.
"Во-первых, каждому, разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух
суть тела, а всякая форма тела имеет глубину. Между тем любая глубина по
необходимости должна быть ограничена природой поверхности; притом всякая
плоская поверхность состоит из треугольников. Однако все вообще
треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому
углу и по два острых, но при этом у одного по обе стороны от прямого угла
лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные
неравными сторонами. Здесь-то мы и полагаем начало огня и всех прочих тел,
следуя в этом вероятности, соединенной с необходимостью; те же начала, что
лежат еще ближе к истоку, ведает эог, а из людей разве что тот, кто друг
эогу".
В этом отрывке Платон прежде всего вводит геометрическое понятие тела: это
глубина, ограниченная поверхностью, т.е. стереометрический объект. Затем он
поясняет геометрическое понятие поверхности: поверхность "состоит" из
треугольников. Что касается треугольников, то Платон в качестве их исходной
("образцовой") формы указывает два вида: прямоугольные равнобедренные
треугольники (с соотношением сторон 1:1: EMBED Equation.2 ) и
треугольники, представляющие собой половину равностороннего треугольника, в
которых гипотенуза вдвое больше одного из катетов; соотношение сторон здесь
1: EQ \R(3) :2.
Из этих треугольников и образованы тела, которые составляют математическую
сущность огня, воздуха, воды и земли. Три из них "слагаются из одного и
того же неравнобедренного треугольника, и только четвертый род - из
равнобедренного... Начнем с первого вида, состоящего из самых малых частей:
его первоначало - треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего
катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и
повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и
гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного
числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним (рис. 6).
Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три
двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который
занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение
четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство
делить всю описанную около него сферу на равные и подобные части" (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
"Первый объемный вид", т.е. первое стереометрическое тело - это простейшая
пирамида - четырехгранник (тетраэдр), построение которой и описывает
Платон. Аналогичным образом строятся и два других правильных многогранника
- восьмигранник (октаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр). Четвертое же "тело"
строится из равнобедренных треугольников, "и притом так, что четыре
треугольника, прямые углы которых встречались в одном центре, образовывали
квадрат; а из сложения шести квадратов возникало восемь объемных углов,
каждый из которых гармонично охватывался тремя плоскими прямыми углами.
Составившееся таким образом тело имело очертания куба, наделенного шестью
квадратными плоскими гранями".
Платон здесь, собственно, обращается к открытию Теэтета, построившего
четыре правильных многогранника, что, по-видимому, вызвало восхищение
Платона и произвело на него сильное впечатление. Платон, видимо, впервые
решил с помощью открытия Теэтета дать объяснение математической "структуры"
космических элементов, т.е. применить это открытие в своей "космогонии".
Это его тем более привлекало, что возникала возможность установить
пропорциональные отношения между стихиями, чего никто до него, вероятно, не
пытался сделать, но что было признано главным средством познания объектов в
рамках математической программы пифагорейцев и платоников. "Если нам
удастся попасть в точку, - говорит Платон, - у нас в руках будет истина о
рождении земли и огня, а равно и тех стихий, что стоят между ними как
средние члены пропорции" (курсив мой. - П.Г.).
Что дает нам знание пропорциональных отношений? Оно позволяет сравнивать
между собой различные объекты и тем самым устанавливать тождество их
отношений. Такого рода знание мы, согласно Платону, можем получить, если
установим пропорцию между четырьмя элементами. А последнюю мы можем
установить, установив в свою очередь соответствие между стихиями и
правильными стереометрическими объектами, которые описал Платон. Такое
соответствие Платон и устанавливает: четырехгранник (тетраэдр)
соответствует огню, восьмигранник (октаэдр) - воздуху, двадцатигранник
(икосаэдр) - воде, а шестигранник, или куб, соответствует земле. Основания,
из которых исходил Платон, устанавливая именно такое соответствие, он
указывает вполне недвусмысленно: каждое из правильных тел имеет
определенные свойства, которые должны максимально соответствовать известным
из опыта свойствам четырех элементов. Земле соответствует куб, потому что
он - самое устойчивое из геометрических тел, а земля отличается именно
своей неподвижностью, устойчивостью; огню - тетраэдр, ибо последний
наиболее, вроде бы, "сходствует" с подвижной и легкой стихией огня и к тому
же имеет наиболее острые грани и углы (режет, жжет, всюду легко проникает).
Аналогичны и рассуждения о воде и воздухе.
Приводя в соответствие геометрическую "сущность" элементов с их
чувственными свойствами, Платон постоянно подчеркивает всего лишь
правдоподобный характер своих разысканий (см. Тимей. 56, 56с), который
объясняется всюду присутствующей "природой необходимости" (56с). Несмотря
на эти постоянные оговорки, он, конечно же, не смог предотвратить той
критики, с которой обрушились на него физики, и прежде всего его ученик
Аристотель.
Но не в соотношениях очертаний фигур с чувственными свойствами природных
элементов лежит центр тяжести рассуждений Платона.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107