С другой стороны, это разъединение
(конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический
характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря
которому она отличается от науки нового времени - последней свойственна
гораздо более интимная связь с "механическими приспособлениями", как
выразился Плутарх.
Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических
методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с
самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании - вопроса,
который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус
геометрических объектов иной, чем статус идей.
Прокл о воображаемом движении
Платон считал, что предпосылкой существования геометрических объектов
является пространство - нечто среднее между чувственными вещами и
умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое
получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия "строит"
свои объекты.
Однако вопрос этот, видимо, вызывал много споров, поскольку действительно
его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в
деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к
какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от
арифметических и "из чего" они образованы. "...Оказывается необходимым, -
пишет Аристотель, - устанавливать еще другой род числа, с которым имеет
дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение
промежуточных объектов; так вот, эти объекты - как они существуют или из
каких образуются начал? а также - почему они будут находиться в промежутке
между здешними вещами и числами самими по себе?"
Надо полагать, в платоновской Академии продолжалось обсуждение вопроса о
том, как существуют геометрические объекты и из каких "начал" образуются;
не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в
частности Прокл в своем комментарии к "Началам" Евклида.
Посмотрим, как Прокл пытается ответить на эти вопросы. Сравнивая между
собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба
спорящих правы. Права школа Спевсиппа, "ибо проблемы геометрии - иного
рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без
вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду
интеллигибельную материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл:
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида:
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastikя); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
Таким образом, движение геометрической точки совершается не в
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие
- "интеллигибельной материей".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
(конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический
характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря
которому она отличается от науки нового времени - последней свойственна
гораздо более интимная связь с "механическими приспособлениями", как
выразился Плутарх.
Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических
методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с
самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании - вопроса,
который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус
геометрических объектов иной, чем статус идей.
Прокл о воображаемом движении
Платон считал, что предпосылкой существования геометрических объектов
является пространство - нечто среднее между чувственными вещами и
умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое
получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия "строит"
свои объекты.
Однако вопрос этот, видимо, вызывал много споров, поскольку действительно
его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в
деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к
какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от
арифметических и "из чего" они образованы. "...Оказывается необходимым, -
пишет Аристотель, - устанавливать еще другой род числа, с которым имеет
дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение
промежуточных объектов; так вот, эти объекты - как они существуют или из
каких образуются начал? а также - почему они будут находиться в промежутке
между здешними вещами и числами самими по себе?"
Надо полагать, в платоновской Академии продолжалось обсуждение вопроса о
том, как существуют геометрические объекты и из каких "начал" образуются;
не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в
частности Прокл в своем комментарии к "Началам" Евклида.
Посмотрим, как Прокл пытается ответить на эти вопросы. Сравнивая между
собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба
спорящих правы. Права школа Спевсиппа, "ибо проблемы геометрии - иного
рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без
вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду
интеллигибельную материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл:
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида:
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastikя); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
Таким образом, движение геометрической точки совершается не в
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие
- "интеллигибельной материей".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107