И речь у нас пойдёт о водах суши - морях, реках и озёрах.
В 1951-м году британский климатолог Харольд Харст, проведший более 60 лет в Египте, где он участвовал в гидротехнических проектах на Ниле, описал неожиданный эффект поведения стока этой реки. Чтобы понять его суть, рассмотрим процесс наполнения Средиземного моря водами Нила, куда он впадает. Если мы предположим, что расходы воды каждый год в реке одинаковы, то мы получим, что за время Т суммарный расход воды будет пропорционален полному времени - Q пропорционально Т. Если мы предположим, что сток Нила - это последовательность слабо зависимых, случайных величин, что ближе к действительности, то мы получим, что суммарный расход пропорционален Q в степени одна вторая. То есть наполнение происходит гораздо медленней. Вот это соотношение и получило название закона Харста, а показатель степени - показателя Харста.
Почему так важно различие в этих степенях? Различие важно по следующей причине. Приведём такой пример, более доступный, из небесной механики. Если мы рассмотрим задачу о вращении планеты вокруг солнца и примем, что сила тяготения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния, то получим классический результат Кеплера - планета движется по эллипсу. Если мы примем, что сила тяготения обратно пропорциональна кубу расстояния, то есть изменим немного степень, то мы получим следующий эффект: планета либо падает на своё солнце, либо уходит в космическое пространство. Кстати, эту задачу рассматривал сам Ньютон в своих «Началах».
Другими словами, при изменении степени мы получаем разные миры. Один мир - мир падающих яблок и лун, движущихся по правильным орбитам, а другой - мир с совершенно иными свойствами. Вот так примерно с эффектом Харста для движения воды. То есть, если водный мир следует эффекту Харста, то это мир катастрофических наводнений, паводков, мир внезапных подъёмов и падений уровня воды в водоёмах. Это бурный, неустойчивый мир. Если бы водный мир не следовал эффекту Харста, то мы получили бы спокойный мир без водных катастроф.
Задача описания этого эффекта очень волновала учёных. И математическим образом, который позволяет описывать этот эффект, стало фрактальное броуновское движение. Что такое фрактальное броуновское движение, Ирина Аркадьевна может пояснить.
Александр Гордон : Только можно я уточняющий вопрос сразу задам? Ведь Харст получил для Нила не 0,5, как было предположено, а 0,7. Именно поэтому в степенях такая большая разница, и это изменяет, собственно, описание системы.
В.Н. Да. Совершенно верно, ни один линейный процесс не удовлетворяет этому, не удовлетворяет ему и классическое броуновское движение, которое является кирпичиком для описания многих сложных систем. И для этого нам пришлось придумать новый тип случайных процессов - фрактальное броуновское движение.
Ирина Кожевникова : В 1940-м году академик Андрей Николаевич Колмогоров рассмотрел гауссовские процессы с непрерывными траекториями, нулевым математическим ожиданием, и дисперсией, пропорциональной времени в степени 2. Время больше или равно нулю, а Н изменяется от нуля до единицы. Если мы положим Н равным одной второй, то это получится классический случай, классическое броуновское движение или классический винеровский процесс.
Этими процессами занимались потом очень многие учёные, в частности, среди них Мандельброт и Ван Несс, и именно они присвоили этому процессу название «фрактальное броуновское движение».
Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Корреляционная функция при Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2. А спектральная плотность имеет при нулевой частоте интегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот тоже степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харста Н.
А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выяснилось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно описано….
И.К. Это только частный случай данного процесса.
А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступенчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движением. Верно?
И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеющая степенной характер.
А.Г. Степенной характер.
И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степенной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию спектральная плотность, как функция частоты, при нулевой частоте обращается в бесконечность, то есть имеет интегрируемую особенность. А дальше для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным образом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответственно, по-другому.
Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Траектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания корреляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фрактального броуновского движения содержит длинные серии положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что характерно для многих геофизических временных рядов.
Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством статистического самоподобия. Это аналогично фракталам, простым фракталам, то есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь же, происходит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.
Харст в 1951-м году и в последующие годы занимался вычислением оценки придуманным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих 75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоёмов, например, озера Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уровня, для стоков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревьев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Харста…
А.Г. Больше 0,5.
И.К. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно, меньше, чем 690, но тоже довольно много рядов обрабатывали. Мы обрабатывали приращение колебания уровня, вычисляли оценку показателя Харста современными статистическими методами, другими совершенно.
А.Г. Для каких объектов?
И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мёртвого морей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревьев и для температурных рядов, это - глобальная температура Северного полушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
В 1951-м году британский климатолог Харольд Харст, проведший более 60 лет в Египте, где он участвовал в гидротехнических проектах на Ниле, описал неожиданный эффект поведения стока этой реки. Чтобы понять его суть, рассмотрим процесс наполнения Средиземного моря водами Нила, куда он впадает. Если мы предположим, что расходы воды каждый год в реке одинаковы, то мы получим, что за время Т суммарный расход воды будет пропорционален полному времени - Q пропорционально Т. Если мы предположим, что сток Нила - это последовательность слабо зависимых, случайных величин, что ближе к действительности, то мы получим, что суммарный расход пропорционален Q в степени одна вторая. То есть наполнение происходит гораздо медленней. Вот это соотношение и получило название закона Харста, а показатель степени - показателя Харста.
Почему так важно различие в этих степенях? Различие важно по следующей причине. Приведём такой пример, более доступный, из небесной механики. Если мы рассмотрим задачу о вращении планеты вокруг солнца и примем, что сила тяготения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния, то получим классический результат Кеплера - планета движется по эллипсу. Если мы примем, что сила тяготения обратно пропорциональна кубу расстояния, то есть изменим немного степень, то мы получим следующий эффект: планета либо падает на своё солнце, либо уходит в космическое пространство. Кстати, эту задачу рассматривал сам Ньютон в своих «Началах».
Другими словами, при изменении степени мы получаем разные миры. Один мир - мир падающих яблок и лун, движущихся по правильным орбитам, а другой - мир с совершенно иными свойствами. Вот так примерно с эффектом Харста для движения воды. То есть, если водный мир следует эффекту Харста, то это мир катастрофических наводнений, паводков, мир внезапных подъёмов и падений уровня воды в водоёмах. Это бурный, неустойчивый мир. Если бы водный мир не следовал эффекту Харста, то мы получили бы спокойный мир без водных катастроф.
Задача описания этого эффекта очень волновала учёных. И математическим образом, который позволяет описывать этот эффект, стало фрактальное броуновское движение. Что такое фрактальное броуновское движение, Ирина Аркадьевна может пояснить.
Александр Гордон : Только можно я уточняющий вопрос сразу задам? Ведь Харст получил для Нила не 0,5, как было предположено, а 0,7. Именно поэтому в степенях такая большая разница, и это изменяет, собственно, описание системы.
В.Н. Да. Совершенно верно, ни один линейный процесс не удовлетворяет этому, не удовлетворяет ему и классическое броуновское движение, которое является кирпичиком для описания многих сложных систем. И для этого нам пришлось придумать новый тип случайных процессов - фрактальное броуновское движение.
Ирина Кожевникова : В 1940-м году академик Андрей Николаевич Колмогоров рассмотрел гауссовские процессы с непрерывными траекториями, нулевым математическим ожиданием, и дисперсией, пропорциональной времени в степени 2. Время больше или равно нулю, а Н изменяется от нуля до единицы. Если мы положим Н равным одной второй, то это получится классический случай, классическое броуновское движение или классический винеровский процесс.
Этими процессами занимались потом очень многие учёные, в частности, среди них Мандельброт и Ван Несс, и именно они присвоили этому процессу название «фрактальное броуновское движение».
Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Корреляционная функция при Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2. А спектральная плотность имеет при нулевой частоте интегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот тоже степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харста Н.
А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выяснилось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно описано….
И.К. Это только частный случай данного процесса.
А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступенчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движением. Верно?
И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеющая степенной характер.
А.Г. Степенной характер.
И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степенной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию спектральная плотность, как функция частоты, при нулевой частоте обращается в бесконечность, то есть имеет интегрируемую особенность. А дальше для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным образом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответственно, по-другому.
Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Траектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания корреляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фрактального броуновского движения содержит длинные серии положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что характерно для многих геофизических временных рядов.
Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством статистического самоподобия. Это аналогично фракталам, простым фракталам, то есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь же, происходит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.
Харст в 1951-м году и в последующие годы занимался вычислением оценки придуманным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих 75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоёмов, например, озера Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уровня, для стоков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревьев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Харста…
А.Г. Больше 0,5.
И.К. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно, меньше, чем 690, но тоже довольно много рядов обрабатывали. Мы обрабатывали приращение колебания уровня, вычисляли оценку показателя Харста современными статистическими методами, другими совершенно.
А.Г. Для каких объектов?
И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мёртвого морей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревьев и для температурных рядов, это - глобальная температура Северного полушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57