Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:
где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
и , т. е. употребил ряд:
До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:
Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:
По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения. Вообразим шар, которого радиус равен расстоянию Сиpиуca от земли (около 134 биллионов километров) и наполненный микробами так тесно, что в каждом кубическом миллиметре их помещается целый биллион (1012). Вообразим далее, что все эти микробы выровнены на прямой, и расстояние между каждыми двумя соседними равно расстоянию Сириуса от земли. Примем теперь эту прямую за диаметр круга и вычислим длину окружности этого круга при помощи (с 100 десятичными знаками. Полученное число даст длину этой окружности с ошибкою против истины лишь в одну миллионную миллиметра. Упомянем ещё об одном любопытном приёме для приближённого определения p, основанном на совершенно иных началах. Если начертить на полу систему равноотстоящих параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, образующих равные квадратики, и бросать на пол иглу, длина которой равна стороне каждого квадратика, то, считая случаи, когда упавшая игла поместится внутри какогонибудь квадратика, не пересекая его сторон, получим, что вероятность этого числа, т. е. отношение числа таких попаданий к общему числу бросаний, равна p-3. Проф. Вольф в Цюрихе, предложивший этот способ, бросал иглу 10000 раз и получил p с тремя верными десятичными знаками. В заключение перечислим учёных, которым наука обязана объяснением невозможности К. круга. Ламберт в 1761 г. доказал, что p не есть рациональное число и не есть корень из рационального числа, т. е. что ни p, ни p2 не могут быть представлены простыми дробями, как бы ни были велики их числители и знаменатели. Лежандр первый высказал мысль, что p должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении «Sur la Fonction Exponentielle» («Comptes Rendus», т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. («Mathematische Annalen», т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и p есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как, то следовательно , а потому и p не может быть числом алгебраическим.
Литература. Montucla, «Histoire des recherches sur la quadrature du cercle» (Пар., 1754); Rudio, «Vier Abhandlungen ueber die Kreismessung» (Лпц., 1892); Hurwitz, «Beweis der Transcendenz der Zahle e und p». На русском языке: Марков, «Доказательство трансцендентности чисел е и p» (СПб., 1883) и перевод статьи Вейерштрасса о невозможности К. круга, в «Известиях Физ. Мат. Общества при казанском унив.» (1894, № 3).
В. Витковский.
Квази
Quasi (как бы, почти) – слово, приставляемое к музыкальному термину, которому хотят дать приблизительное сходство с другим термином; напр. andante quasi allegretto обозначает, что andante должно иметь движение почти одинаковое с allegretto. Quasi una fantasia – сочинение, написанное под влиянием формы фантазии или почти как фантазия. Quasiaccorde – фиктивные, кажущиеся аккорды или случайные гармонии, образуемые проходящими, вспомогательными нотами. Quasisynkope – нота на слабом времени с акцентом и её повторение на сильном, но без соединяющей лиги.
Квакеры
Квакеры (англ. quackers, quakers, т. е. «дрыгуны») – секта, возникшая в Англии в XVII ст. Название это было дано им в насмешку, в виду судорожных движений и припадков, в которые они впадали, когда «нисходил на них Дух Божий». Сами последователи этой секты называли себя «христианским обществом друзей» (на основании слов, употреблённых апост. Иоанном, Послан. III, 15). Основателем её был Георг Фокс, родившийся в 1624 г. Углубившись в чтение Священного Писания, он, после непродолжительного периода искания и сомнения, достиг положительного убеждения, что истина находится не в науке, не в католицизме или англиканстве и других сектах, а в каждом человеческом сердце. Он называет её внутренним светом, гласом Божиим. Этот голос не возвещает новых истин веры – они уже высказаны в Св. Писании, – но служит свидетельством вечного присутствия Христа в человеке; он указывает добро, отдаляет от греха и никогда не противоречит ясному смыслу Св. Писания и разуму. Фокс немедленно принялся распространять это учение, впадая в мистические восторги и предоставляя другим логическое развитие учения из высказанного им начала. Его били, бросали в него камнями, сажали в тюрьму, но, не смотря на все преследования, число его последователей быстро увеличивалось. Когда Кромвель распустил парламент (1653) и рассеялась надежда «святых» на скорое осуществление их мечты о царстве Божием на земле, горячие индепенденты приняли учение о новых, непрерывных откровениях Божиих; благодаря этому, квакерство быстро распространилось по всей Англии; ревностные сторонники «внутреннего света» отправлялись, для проповеди, даже в отдалённые страны. Фокс сам посетил Америку и указал на неё своим последователям; Вильям Пенн, которому принадлежат большие заслуги во внутренней организации квакерских общин, купил у английского правительства земли на Делаваре и основал там квакерскую колонию. В наше время общины К. особенно распространены в Англии и Сев. Американских Соед. Шт.; кроме того, они существуют в Голландии, Германии (близ Пирмонта) и в торговых городах Норвегии. Так как К. ни в каком случае не приносят присяги и упорно отказываются от обязанностей военной службы, то везде, где они существуют, их слово признается равносильным присяге, а вместо военной службы они платят известные подати. Систематическую разработку учению К. дал Роберт Барклэ, в своих сочинениях: «Саtechismus et fidel confessio» (179) и «Theologiae vere christianae apologia». Не мало сделал для этого и Пенн. Признавая великое значение «внутреннего голоса» и его согласие с Св. Писаниям, К. не отрицают и земной мудрости, «ибо Христос пришёл не угасить, а очистить языческое знание»;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315