- и.ши ч- и, 6
{и.ШО) (0,038) = 0,1418 или 14.18%
Последующие преобразования дают следующий результат
(М / Мо )/(Мi / Мо ) = (1 + i) / (1 + К) = (1 + Р)
где (1 + Р) означает фактическое увеличение цен в период
п+1 по отношению к п - принятых за единицу.
(1 + i) = (1 + К) (1 + Р) или (1 + i) = 1 + Р + К + КР.
i = 1 + Р + К + КР - I,
Отсюда получаем базовую формулу для расчета реального
процента;
i=Д+Р+РР (5)
Пример 1: Допустим, в прошлом году темп роста цен
составил 5 %. В этом году вы ожидаете уменьшения этого
роста до 4,25 % в год. Ставка банковского процента по ва-
шему двухгодичному вкладу, сделанному в начале прошлого
годе не менялась (по условиям договора) и была равной 12 %.
Вопрос: как изменился уровень реального процента за этот
промежуток времени?
Решение: Рассчитаем реальную процентную ставку
для первого и второго годов:
К (первый год) = (I-Р) / (1+Р) = (0.12-0.05)/(1-ГО.05) =6.67%
К (второй год) = (0.12-0.0425) / (1+0.0425) == 0,0743 =7.43%
Расчеты дохода при сложных процентах.
Сложным процентом называется сумма, которая
образуется в результате процентного нарастания на весь срок
кредита. Иными словами, при сложных процентах сумма дохо-
да не выплачивается, а присоединяется к вкладу и в последую-
щее время сама приносит процент.
Для расчета сложных процентов применяется формула (2).
Если банковский период и срок нарастания совпадают Друг с
другом, то п = 1 и процент к концу первого периода раве.н Р п.
Для второго года полученный по первоначальному зкладу
процент сам становится вкладом.
;I) + (РО + РОХI = РО(I +I)+РО
1(1 + i)
второй год
52 = (РО + РО
первый год
= (1 + i)(1 + i) Р" = Р"(1 + i)2
Для третього периода года результаты .будут выглядеть сле-
дующим образом:
i)2 i = Р"(1 + i+i+
1)3
53 = ( + РО-I) + о + РО-I)- = РО(I + Ц
+ i 212 + i3) = р(i + Зi + 312 + i3) = р(i + i)з
п к,....-. -
.--.., Iд
В общем виде формула выглядит:
ЗРI+I)"
где (I+i)- множитель нарастания, а п
ков нарастания.
(6)
количестве сро-
Пример 1: Найти будущую стоимость срочного вклада в
10.000 ден. ед., помещенного на 3 го(}а при срочной процент-
ной ставке 0,05.
Решение: 53 = 10.000 1,053 = 11.576,25 ден. ед.
Для облегчения расчетов можно использовать логарифмиро-
вание:
1д5з = 31д1,05 + 4
Схематически нарастание сложных процентов можно пред-
ставить следующим образом:
10,000 ден. ед. - настоящая стоимость срочного вклада
+
500 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05,
10.500 ден. ед. - итог первого года
+
525 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11,025 ден. ед. - итог второго года
+
551,25 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11.576,25 ден. ед, - будущая стоимость срочного вклада,
Пример 2: Определить будущую стоимость 100 ден. ед. че-
рез 200 лет по сложной процентной ставке 0,06.
Решение: 5200 = ЮО (1.06) = 11.512.2 ден. ед.
Если период срока кредита (п) не совпадает с числом нара-
стания процентной ставки (т), то формула (6) примет вид
= РО(I+
Пример 3: Найти будущую стоимость 10.000 ден. ед., вло-
женных при годовой ставке 8% на 10 лет при нарастании
четыре раза в год.
Решение: 510 = 10.000 - (1 + 0.08/4) = 22.0.08,3
Приведенная выше формула для расчета сложных процен-
тов (6) является отправной для вычисления дисконтной
ставки при сложных процентах.
= 5" / (1 + = 8
где У" = 1/ (1 + i) называется учетным множителем.
Пример 4: Сколько денег следует поместить в банк, чтобы
через 15 лет получить 10.000 ден. ед.., если процентная
ставка (сложная) равна 0,05?
Решение:
Если число нарощение не равно банковскому сроку, то фор-
мула (8) принимает вид:
Р=5ц/(1+ i/т)T
Для упрощения банковских вычислений существуют специ-
альные математические таблицы процентных множителей, со-
ставленных применительно к 1 ден. ед, С их помощью вычисле-
ние будущей (настоящей) цены вклада сводится к умножению
числа, взятого из таблицы, на величину настоящей (будущей)
стоимости вклада,
Для расчета будущей стоимости при сложных процентах ис-
пользуется таблица <Риiиге Уаiие Iпiегеяi Расiоге> (РУIР), где
приводится ряд целочисленных значений множителя (1 + i)"=В.
В расчетах настоящей стоимости применяется таблица <Ргеяепi.
Уаiие Iпiегевi Расiога> (РУIР), используется множитель
1/(1+i)=УЇ
Эти множители помещены в таблице 12.1 (РУIР - первый
столбец), (РУТР - второй столбец).
п = РО РУп (10)
Рп = 5п РУIР (II)
Пример 5: Кокова величина вклада в 2.000 ден. ед., помещен-
ных при сложной ставко 8% на 5 лет?
Решение: РУ = 2.000 1.46933 = 2.938.66 ден. ед.
где 1,46933 - число найденное при пересечении i = 8 и п = 5.
Пример 6: Через 15 лет фирма хочет обладать суммой в
100.000 ден. ед., необходимой ей для покупки нового оборудо-
вания. Ставка сложного процента равна 12 %. Какую сумму
необходимо поместить в банк, чтобы через нужный срок
получить требуемую величину?
Решение: РУц = 100.000 0.18270 = 18.270 ден. ед.
Пример 7: Вклад в 5.000 ден. ед. к концу 8 года по сложным
процентам превратился в 5.858,3 ден. ед. Какова величина
процентной ставки?
5ц : РО = 5.858,3 : 5.000 = I.Є7166
Найдем данное число в таблице РУIР против п = 8. Эта ве-
личина соответствует 2%.
При расчете процентных платежей с помощью таблиц осо-
бое внимание следует уделить правильности выбора срока пе-
риода.
Пример 8: Найти настоящую стоимость 2,500 ден. ед., по-
лученных через три. года после того, как они пролежали в
банке при ежемесячной ставке процента 1 % (процент
сложный).
В данном примере приведена лишь ежемесячная процентная
ставка. В перерасчете на год она составит 12%. кроме то-
го, чис.по нарастаний будет ровно и. для рисчити лсуусiи
воспользоваться формулой (9).
Решение: РУ = 8 / (I+i/т = 2.500 0,71178 = 1.779,45
ден- ед-
Еще одна трудность возникает при работе с нецелочислен-
ными значениями процентной станки i и периода п. Для этого
используется спосой <пропорциональности частей>, согласно
которому разность будущих множителей прямо пропорцио-
нальна разности процентов.
Пример 9: Во что обратится банковский вклад размером в
2.000 ден. ед. при сложной процентной ставке равной 0,02 к
концу 81/4 лет?
Решение: В таблице 12.1 нет значения множит для пери-
ода времени, равного 8 1/4. Поэтому необходимо рассчи-
тать вклад по срочной процентной ставке на 8 лет и на
полученный результат добавить простой процент за 1/4
года.
РУц = 2.000 1.02 = 2.000 1,17166 = 2.343.32 ден. ед.
РУц =2.343,32 + (2.343,32 0,25 0,02) = 2343 ,32 + 11,72 =2.
2;81,
355,04
ден. ед.
Аннуитет
Аннуитет (Аппщiу) или долгосрочная финан-
совая рента представляет собой равновеликие платежи (посту-
пления), которые производятся (получаются) в равные проме-
жутки времени в течение датированного временного периода,
Каждый отдельный платеж, входящий в состав аннуитета, на-
зывается его членом,
К таким видам финансовых рент относят периодические по-
гашения кредита по компенсационным соглашениям, создание
амортизационного фонда, взносы по страхованию, выплаты
долга и т.д.
Вычисление аннуитета связано с решением двух ТЯПОБ за-
дач. Если момент оценки предшествует моменту платежа пер-
вого члена или совпадает с ним, то величина финансовой рен-
ты представляет результат учета всех ее членов и будет назы-
ваться настоящей стоимостью аннуитета.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71