Но можно ли считать изменение условия задачи ее решением? Логическая
недостаточность естественных языков может считаться одной из причин
разработки языков формализованных. Формализация, отображающая результаты
мышления в точных понятиях или утверждениях, предполагает установление
однозначного соотношения смысла и имени. Другим обязательным условием для
построения формализованных языков является использование аксиоматического
метода, предполагающего принятие без доказательств некоторого, ограниченного
числа утверждений, или аксиом, из которых получаются все утверждения теории.
Наиболее развитыми формализованными языками являются математика и формальная
логика. Математика, построенная на сравнительно небольшом числе исходных
постулатов, оказала огромное влияние на развитие естествознания, на
формирование самого мировоззрения современного человека и, в решающей
степени, на создание и развитие человеческой технической цивилизации,
которая, по сути дела, целиком основана на развитом и изощренном
математическом аппарате. Современное выделение так называемых точных наук
предполагает использование, включение в структуру наук математического
аппарата, что обеспечивает, как принято считать, максимально точное знание.
Однако, несмотря на всю практическую силу и колоссальный теоретический
потенциал современной математики, никогда не прекращались попытки анализа
достаточности и правомочности ее аксиоматического базиса. Еще в прошлом веке
работы Лобачевского и Римана, усомнившихся в очевидности одной из основных
аксиом евклидовой геометрии - о параллельных прямых, - привели к рождению
математики "пространств", весьма частным случаем которой является евклидово
пространство.
С другой стороны, постоянно следовали попытки представления математики в
виде полностью замкнутой и непротиворечивой формализованной системы, то есть
разрешения той проблемы, которую в форме шутливого парадокса представил
Рассел: математики обычно говорят так - если верно то, то верно и это; таким
образом, математики никогда не знают, о чем они говорят, и верно ли то, о
чем они говорят. Тем не менее, появившиеся в начале нынешнего столетия
работы Рассела и Уайтхеда, а также Гильберта были последними попытками
обоснования математики путем ее полной формализации: эти программы оказались
невыполнимыми.
В 1931 году Куртом Геделем была доказана знаменитая теорема о неполноте
достаточно богатых формальных систем и о невозможности доказательства
непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе.
Тем самым теорема Гёделя утверждает принципиальную невозможность полной
формализации научного знания: если формализуется достаточно богатая
содержанием теория, то она не может быть полностью отображена в формальной
системе - в полученной теории всегда остается невыявленный, неформализуемый
остаток. Это несоответствие и выражается обычно в обнаружении неразрешимых в
рамках данной формальной системы предложений, имеющих форму антиномий или
парадоксов. Теоретически преодоление этих трудностей возможно путем создания
новых формальных систем исчисления - метасистем, или метатеорий, более
богатых, чем предшествующая или исследуемая система. В соответствии с
теоремой Гёделя, метатеория порождает новые парадоксы, для разрешения
которых необходимо построение еще более содержательной теории - и так до
бесконечности, никогда не достигая, впрочем, абсолютной полноты.
Еще более сложна ситуация в науках неточных. Их широкая аксиоматика,
многозначность и неопределенность отношений смысл - имя, богатая
терминология делают эти науки принципиально неформализуемыми методами
современной науки. Некоторая видимость прогресса, достигнутая в формализации
таких, ранее сугубо описательных наук, как биология или экономика, вызвала
было волну оптимизма и веры во всесилие формальных методов, которая
довольно-таки быстро спала, сменившись разочарованием.
Причин тому можно назвать несколько, но основной, видимо, следует считать то
огрубление, упрощение, искажение истинной картины явлений, которое
свойственно всем известным методам формализации. Точные науки описывают мир
механический, мир точных и неизменно повторяющихся траекторий, и не имеет
значения, описывается ли движение математической точки или конгломерата
точек-индивидуальностей, которые описываются среднестатистически, что,
кстати, используется и в методах социологических исследований. В качестве
примера растущих со сложностью системы проблем, связанных с формализацией,
можно назвать уже упоминавшиеся попытки И.Р. Пригожина распространить
аппарат разработанной им теории самоорганизации на биологические системы.
В рамках наук, занимающихся изучением подобных систем, проводятся операции с
символами, не имеющими однозначного смысла. Кроме того, аксиоматическая база
таких наук основана на значительном числе постулатов, к тому же носящих
зачастую конвенционалистский характер, то есть опирающихся на общепринятые в
той или иной общности людей культурные или национальные стереотипы и
традиции. Доводом, считающимся, кстати, самым сильным в пользу принятого в
данной естественнонаучной и мировоззренческой системе набора постулатов,
является "практический опыт человечества" и "здравый смысл". Ценность
подобных доводов, наверное, сомнительна: когда-то "здравый смысл"
свидетельствовал в пользу гипотезы плоской Земли...
Бездоказательность аксиоматических утверждений имеет не только чисто
теоретические следствия, но очень часто приводит к трагическим результатам.
Вся история Земли прямо-таки насыщена примерами применения принятой с давних
пор и, к сожалению, бытующей и сейчас методики доказательств "огнем и мечом"
превосходства постулатов одной религии над другой: религиозные мракобесы и
изуверы, ведя за собой темные толпы обманутых людей, вдалбливали и
продолжают вдалбливать в самом прямом смысле этого слова в головы друг друга
свои идеи, считая их единственно правильными. И подобная борьба характерна
не только для религии, ибо, как сказал один удивительный писатель, "и в миру
не терпят тех, кто подвергает сомнению основополагающие учения, ведь любая
идеология претендует на обладание конечной истиной".
История философии, например, хотя и не изобилует обильными кровопролитиями,
но, тем не менее, являет собой ту же картину тысячелетних попыток
доказательства принципиально недоказуемого.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176
недостаточность естественных языков может считаться одной из причин
разработки языков формализованных. Формализация, отображающая результаты
мышления в точных понятиях или утверждениях, предполагает установление
однозначного соотношения смысла и имени. Другим обязательным условием для
построения формализованных языков является использование аксиоматического
метода, предполагающего принятие без доказательств некоторого, ограниченного
числа утверждений, или аксиом, из которых получаются все утверждения теории.
Наиболее развитыми формализованными языками являются математика и формальная
логика. Математика, построенная на сравнительно небольшом числе исходных
постулатов, оказала огромное влияние на развитие естествознания, на
формирование самого мировоззрения современного человека и, в решающей
степени, на создание и развитие человеческой технической цивилизации,
которая, по сути дела, целиком основана на развитом и изощренном
математическом аппарате. Современное выделение так называемых точных наук
предполагает использование, включение в структуру наук математического
аппарата, что обеспечивает, как принято считать, максимально точное знание.
Однако, несмотря на всю практическую силу и колоссальный теоретический
потенциал современной математики, никогда не прекращались попытки анализа
достаточности и правомочности ее аксиоматического базиса. Еще в прошлом веке
работы Лобачевского и Римана, усомнившихся в очевидности одной из основных
аксиом евклидовой геометрии - о параллельных прямых, - привели к рождению
математики "пространств", весьма частным случаем которой является евклидово
пространство.
С другой стороны, постоянно следовали попытки представления математики в
виде полностью замкнутой и непротиворечивой формализованной системы, то есть
разрешения той проблемы, которую в форме шутливого парадокса представил
Рассел: математики обычно говорят так - если верно то, то верно и это; таким
образом, математики никогда не знают, о чем они говорят, и верно ли то, о
чем они говорят. Тем не менее, появившиеся в начале нынешнего столетия
работы Рассела и Уайтхеда, а также Гильберта были последними попытками
обоснования математики путем ее полной формализации: эти программы оказались
невыполнимыми.
В 1931 году Куртом Геделем была доказана знаменитая теорема о неполноте
достаточно богатых формальных систем и о невозможности доказательства
непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе.
Тем самым теорема Гёделя утверждает принципиальную невозможность полной
формализации научного знания: если формализуется достаточно богатая
содержанием теория, то она не может быть полностью отображена в формальной
системе - в полученной теории всегда остается невыявленный, неформализуемый
остаток. Это несоответствие и выражается обычно в обнаружении неразрешимых в
рамках данной формальной системы предложений, имеющих форму антиномий или
парадоксов. Теоретически преодоление этих трудностей возможно путем создания
новых формальных систем исчисления - метасистем, или метатеорий, более
богатых, чем предшествующая или исследуемая система. В соответствии с
теоремой Гёделя, метатеория порождает новые парадоксы, для разрешения
которых необходимо построение еще более содержательной теории - и так до
бесконечности, никогда не достигая, впрочем, абсолютной полноты.
Еще более сложна ситуация в науках неточных. Их широкая аксиоматика,
многозначность и неопределенность отношений смысл - имя, богатая
терминология делают эти науки принципиально неформализуемыми методами
современной науки. Некоторая видимость прогресса, достигнутая в формализации
таких, ранее сугубо описательных наук, как биология или экономика, вызвала
было волну оптимизма и веры во всесилие формальных методов, которая
довольно-таки быстро спала, сменившись разочарованием.
Причин тому можно назвать несколько, но основной, видимо, следует считать то
огрубление, упрощение, искажение истинной картины явлений, которое
свойственно всем известным методам формализации. Точные науки описывают мир
механический, мир точных и неизменно повторяющихся траекторий, и не имеет
значения, описывается ли движение математической точки или конгломерата
точек-индивидуальностей, которые описываются среднестатистически, что,
кстати, используется и в методах социологических исследований. В качестве
примера растущих со сложностью системы проблем, связанных с формализацией,
можно назвать уже упоминавшиеся попытки И.Р. Пригожина распространить
аппарат разработанной им теории самоорганизации на биологические системы.
В рамках наук, занимающихся изучением подобных систем, проводятся операции с
символами, не имеющими однозначного смысла. Кроме того, аксиоматическая база
таких наук основана на значительном числе постулатов, к тому же носящих
зачастую конвенционалистский характер, то есть опирающихся на общепринятые в
той или иной общности людей культурные или национальные стереотипы и
традиции. Доводом, считающимся, кстати, самым сильным в пользу принятого в
данной естественнонаучной и мировоззренческой системе набора постулатов,
является "практический опыт человечества" и "здравый смысл". Ценность
подобных доводов, наверное, сомнительна: когда-то "здравый смысл"
свидетельствовал в пользу гипотезы плоской Земли...
Бездоказательность аксиоматических утверждений имеет не только чисто
теоретические следствия, но очень часто приводит к трагическим результатам.
Вся история Земли прямо-таки насыщена примерами применения принятой с давних
пор и, к сожалению, бытующей и сейчас методики доказательств "огнем и мечом"
превосходства постулатов одной религии над другой: религиозные мракобесы и
изуверы, ведя за собой темные толпы обманутых людей, вдалбливали и
продолжают вдалбливать в самом прямом смысле этого слова в головы друг друга
свои идеи, считая их единственно правильными. И подобная борьба характерна
не только для религии, ибо, как сказал один удивительный писатель, "и в миру
не терпят тех, кто подвергает сомнению основополагающие учения, ведь любая
идеология претендует на обладание конечной истиной".
История философии, например, хотя и не изобилует обильными кровопролитиями,
но, тем не менее, являет собой ту же картину тысячелетних попыток
доказательства принципиально недоказуемого.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176