В модели латентного класса функция плотности распределения
индивидов является точечно-дискретной: все индивиды относятся
к разным непересекающимся классам. Измерение производится но-
минальной шкалой.
В модели латентной дистанции постулируется, что вероятность
ответа индивида на пункттестаявляется мультипликативной функ-
цией от параметров задачи и величины свойства:
Р_ (х) - к, (х -Д. ).
Р(х) - вероятность ответа "да" на i-й пункт,
a - "дифференцирующая сила" задания,
х - величина свойства,
р- "трудность" задания.
Вероятность ответа на пункт теста описывается функцией, изо-
браженной на графике.
Р.(х)
где
Р(х) - величина i-ro задания,
Рх) - вероятность ответа на i-e задание.
Модель нормальной огивы есть обобщение модели латентной дис-
танции. В ней вероятность ответа на задание такова:
00
Р,(х) =Sp(t)dt,
-L.M
где
-L(x) - плотность нормального распределения.
В логистической модели вероятность ответа на задание описыва-
ется следующей зависимостью:
P,(x)=[DL_(x)],
L,(x) = а (х- ), \i/ (x) ==e(l-e0- логистическая функция
распределения.
Логистическая модель используется наиболее широко, так как она
специально предназначена для тестов, где свойство измеряется сум-
мированием баллов, полученных за выполнение каждого задания с
учетом их весов.
Логистическая функция и функция нормального распределения
тесно связаны:
/ Ф(х)-(1,7х) 1 <0,01
(здесьФ(х) - кумулятивная функция нормального распределения).
Развитием ЛСА являются различные модификации Item Response
Theory. В IRT распределения переменных на оси латентного свой-
208
ства считаются непрерывными, т.е. модельлатентного класса не ис-
пользуется.
Базадля IRT - это модельлатентной дистанции. Предполагает-
ся, что и индивидов, и задания можно расположить на одной оси
"способность - трудность", или "интенсивность свойства - сила
пункта". Каждому испытуемому ставится в соответствие только одно
значение латентного параметра ("способности").
В общем виде вероятность ответа зависит от множества свойств
испытуемого, но в моделях IRT рассматривается лишь одномерный
случай.
Главное отличие IRT от классической теории теста в том, что в ней
не ставятся и не решаются фундаментальные проблемы эмпирической
валидпости и надежности теста: задача априорно соотносится лишь с
одним свойством, т.е. тест заранее считается валидным. Вся проце-
дура сводится к получению оценок параметров трудности задания и
к измерению "способностей" испытуемых (образованию "характе-
ристических кривых"),
В классической теории теста индивидуальный балл (уровень свой-
ства) считается некоторым постоянным значением. В IRT латент-
ный параметртрактуется как непрерывная переменная.
Первично моделью в IRT стала модель латентной дистанции,
предложенная Г.Рашем: разность уровня способности и трудности
теста х, -, где х - положение i-ro испытуемого на шкале, а -
положение j-го задания на той же шкале. Расстояние (х - [) харак-
теризует отставание способности испытуемого от уровня сложности
задания. Если разница велика и отрицательна, то задание не может
быть выполнено, так как для данного испытуемого оно слишком
сложно. Если же разница велика и положительна, то задание также
не информативно, ибо испытуемый заведомо легко и правильно его
решит.
Вероятность правильного решения задания (или ответа "да") i-м
испытуемым:
Р.()=-Р.)-
Вероятность выполнения j-го задания группой испытуемых:
P=ft-P.
В IRT функции (х) и f(p) называются функциями выбора пункта.
Соответственно первая является характеристической функцией ис-
пытуемого, а вторая - характеристической функцией задания.
Считается, что латентные переменные х и (3 нормально распреде-
лены, поэтомудля характеристических функций выбирают либо ло-
гистическую функцию, либо интегральную функцию нормирован-
ного нормального распределения (как мы уже отметили выше, они
мало отличаются друг от друга).
Поскольку логистическую функцию проще аналитически зада-
вать, ее используют чаще, чем функцию нормального распределе-
ния.
Кроме "свойства" и "силы пункта" (она же-трудность задания)
в аналитическую модель IRT могут включаться и другие перемен-
ные. Все варианты I RT классифицируются по числу используемых в
них переменных.
Наиболее известны однопараметрическая модель Г.Раша, двух-
параметрическая модель А. Бирнбаума и трехпараметрическая модель
А.Бирнбаума.
В однопараметрической модели Раша предполагается, что ответ
испытуемого обусловлен только индивидуальной величиной изме-
ряемого свойства (6.) и "силой" тестового задания (р.). Следователь-
но, для верного ответа ("да")
ехр- )
Р,(/)= ,- )
и для неверного ответа ("нет")
cxp(e.-ft. )
О ("/в.Р ) = 1 - -.
" " ]+ехр(в_-)
Наиболее распространена модель Раша с логистической функцией
отклика.
Для тестового задания:
ц1.7<>-ЦП
Р,(в)=
Для испытуемого:
РФ)
f -f- pl.7<> -Ui>
pi .7(41-IV
] + gl .7(4!-ft)
Естественно, чем выше уровень свойства (способности), тем ве-
роятнее получить правильный ответ ("ключевой" ответ - "да").
Следовательно, функция Р. (6) является монотонно возрастающей.
В точке "перегиба" характеристической кривой i-го задания тес-
та "способность" равна "трудности задания", следовательно, "веро-
ятность его решения" равна 0,5.
Очевидно, что индивидуальная кривая испытуемого, характе-
ризующая вероятность решить то или иное задание (дать ответ "да"),
будет монотонно убывающей функцией.
В точке на шкале, где "трудность равна индивидуальной спо-
собности испытуемого", происходит "перегиб" функции. С ростом
"способности" (развитием психологического свойства) кривая сдви-
гается вправо.
Главной задачей IRT является шкалирование пунктовтестаи ис-
пытуемых.
Упростим исходную формулу модели, введя параметр V - е"
V
Q = 1 -
if
I+V
V
Шанс на успех i-го испытуемого при решении j-ro задания опре-
деляется отношением:
V
Р.
у== e>i-ii\
Если сравнить шансы двух испытуемых решить одно и то же)-е
задание, то это отношение будет следующим:
Л с/У
Следовательно, разница в успешности решения задания испыту-
емыми не зависит от сложности задания и определяется лишь уров-
нем способности.
Нетрудно заметить, что в модели Раша отношение трудности за-
даний не зависит от способности испытуемых. Для того, чтобы убе-
диться в этом, достаточно проделать аналогичные простейшие пре-
образования, сравнивая вероятности ответов группы на два пункта
теста, а не вероятности ответов разных испытуемых.
Р- вероятностьответа Hak-езаданиедля i-го испытуемого,U=
ев.. р,
и для неправильного ответа
О.-
1
Следовательно,
I+U
U
Для сравнения шансов на успех i-го испытуемого решить зада-
ния k и п берем отношение:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84