26
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
5. Делим сумму квадратов отклонений на общее число наблюдений (ЛО и получаем величину, называемую дисперсией (D):
I*2
?> = -
N
6. Извлекаем корень квадратный из дисперсии и получаем величину, называемую стандартным отклонением (S), или среднеквадратичное отклонение (от):
или с =
Таблица 1.1.6 Расчет дисперсии (О) и стандартного отклонения (5) (при N=10)
X
X
х2
13
0,2
0,04
17
-3,8
14,44
15
-1,8
3,24
11
2-2
4,84
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
17
-3,8
14,44
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
11
2,2
4,84
1х2=51,60
„ , _ 51,60 Таким образом: ?> = ——— = 5,16 и
Приведем все описанные расчеты для конкретного примера и определим дисперсию и стандартное отклонение для выборки, состоящей из результатов 10 измерений: 13; 17; 15; 11; 13; 11; 17; 13; 11; 11. Для начала рассчитаем среднюю арифметическую величину: она оказывается равна 13,2. Для облегчения дальнейших расчетов составляем табл. 1 . 1 .6. В 1-й графе таблицы записываем первичные данные (X), во 2-й — отклонения их значений от средней арифметической (х) и в 3-й — квадраты отклонений (х2).
При сгруппированных данных формула расчета дисперсии приобретает следующий вид:
N
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________27
где /— частота каждого из классов группировки; Xt — центр каждого из классов группировки; М — средняя арифметическая величина, а N — число измерений.
Различают два полуквартильных отклонения — для левой и правой сторон распределения экспериментальных данных. Каждое из полуквартильных отклонений представляет собой величину, соответствующую половине области распределения центральных 50% данных на шкале измерений. Очевидно, что любое распределение экспериментальных данных может быть разделено на четыре равные части, каждая из которых охватывает 25% наблюдений. Если отсчитывать наблюдения, начиная от минимальной величины на измерительной шкале, то точка С?,, отделяющая первые 25% наблюдений от остальных, определит границу первого квартиля. Та же самая процедура счета, производимая от максимальной величины, отделяет последний, т. е. четвертый, квартиль; сама же точка на шкале обозначается как Q3. Наконец медиана, согласно ее определению, позволяет идентифицировать второй и третий квартили: точка их разделения на шкале и соответствует медиане. Она получила обозначение Qr Половина же интервала на измерительной шкале, заключенного между точками Q, и Qy и есть полуквартильные отклонения. Только в случае нормального, т. е. симметричного, распределения данных точка Q2 совпадает с местоположением медианы. Следовательно, с помощью полуквартильных отклонений можно определять рассеивание экспериментальных данных вокруг медианы.
Обратимся снова к табл. 1.1.4 и расчету мер центральной тенденции. Ранее для приведенных там данных мы рассчитали, что Me = 28,25, и таким образом определили точку Q2. Теперь нам предстоит найти точки Q, и Q3. В случае нормального, т. е. строго симметричного, распределения данных точки <Э,и Q3 можно рассматривать в качестве медиан: Q, — для левого интервала (от начала шкалы измерений до точки Q2), a Q3 — для правого интервала (от конца шкалы до той же точки Q2). Поэтому дальнейшие процедуры расчетов значений Ql и Q3 будут аналогичны той, которую мы рассматривали при вычислении медианы. То есть мы имели право воспользоваться приведенной выше аналитической формулой для интерполяции медианы, а именно
г.
<р
1. Прежде всего укажем, что значение i — ширины класса группировки — нам известно, из задания: 1=5 (как для левого интервала, так и для правого).
2. Что касается N — числа измерений, то согласно определению медианы вообще, а в нашем случае точки Q3 в частности, оно должно быть одинаковым в обоих рассматриваемых интервалах: Na=Nnf=25 при общем числе измерений, равном 50. Отсюда
28
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
3. Анализируя группировку данных, приведенную в табл. 1 . 1 .4, нетрудно заметить, что классом группировки, предположительно содержащим половину наблюдений левого интервала, является 3-й класс, а таким же классом для правого интервала — 6-й класс. Исходя из этого, по табл. 1.1.4 легко определить, что для левого интервала /=19,5; Fb~lO; /р=6; для правого интервала /=39,5; F=§; ff=6.
4. Пользуясь найденными значениями величин, производим необходимые расчеты медиан обоих интервалов:
для левого
для правого 6 12,9-9
•5 = 36,58.
5. Согласно определению квартального отклонения следует, что
_ 36.58-21,58 __ т. е. в нашем примере Q=———~—— = 7,Ь.
6. Однако этот результат получен нами для нормального распределения данных. На самом же деле, как показывает табл. 1.1.4, в нашем примере мы имеем дело с явно асимметричным распределением. Поэтому истинные полуквартильные отклонения в данном случае необходимо было рассчитывать с учетом вычисленного значения для медианы (или Q2), a именно, что Л1е=28,25. Тогда мы получаем для левого интервала Q2~Q, =28,25-21,58=6,67, для правого интервала Q3-Q2=36,58-28,25=8,33. С помощью данного приема можно очень легко определить право- и левостороннюю асимметрию любого распределения:
если Q3-Q,>Q2-Q,, то имела место правосторонняя асимметрия; если Q3~Q2
Для каких целей служат меры центральной тенденции (М или Me) и меры изменчивости (D, S, о, Q)? Во-первых, эти меры используются для интерпретации первичных результатов. На основе полученных значений мер центральной тенденции можно, например, предвидеть наиболее вероятные результаты аналогичного исследования другой выборки. На основе же мер изменчивости можно оценить точность проведенных измерений, т. е. выявить случайные ошибки измерения. Во-вторых, та или иная из вышеназванных мер необходима для проверки статистической значимости различий (см. с. 274, Приложение I: /-критерий Стьюдента) между результатами исследо-
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________29
вания двух разных выборок, а также для вычисления так называемых коэффициентов корреляции, о которых сейчас пойдет речь.
Меры взаимосвязи. Коэффициентами корреляции пользуются для того, чтобы выяснить, существует ли взаимосвязь между двумя переменными, и определить ее степень, т. е. тесноту взаимосвязи. Значение коэффициента корреляции изменяется от -1 до +1. Величины, лежащие в этих пределах, отражают максимально возможную взаимосвязь сравниваемых переменных. Когда коэффициент корреляции равен нулю, то это означает, что взаимосвязь отсутствует. Положительная корреляционная связь указывает на прямо пропорциональное отношение между двумя переменными, а отрицательная — на обратно пропорциональную взаимосвязь. Чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции, тем теснее связь между изучаемыми переменными.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183