Таким образом, первые графы таблицы служат основанием для группировки первичных результатов. В дальнейшем будет видно, что они совершенно необходимы также для расчета ряда статистических показателей. Характер распределения первичных результатов показан в 5-й графе, а частота встречаемости (/) — в 6-й.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.5 Расчет накопленных частот и процентной суммы накопленных частот
Классы группировки
Точные границы классов
Частоты данных (0
Накопленные частоты
"сыт)
Процентная сумма накопленных частот (%)
10
54,5-59,5
1
50
1,00x100=100
9
49,5-54,5
1
49
0,98x100=98
8
44,5-49,5
3
48
0,96x100=96
7
39,5-44,5
4
45
0,90x100=90
6
34,5-39,5
6
41
0,82x100=82
5
29,5-34,5
7
35
0,70x100=70
4
24,5-29,5
' 12
28
0,56x100=56
3
19,5-24,5
6
16
0,32x100=32
2
14,5-19,5
8
10
0,20x100=20
1
9,5-14,5
2
2
0,04x100=4
В некоторых случаях результаты исследования полезно представить графически, в виде кривой так называемых накопленных частот (fcum), я также в виде процентной суммы этих частот. Чтобы показать, как это делают, обратимся снова к данным табл. 1.1.4 и воспроизведем из нее графы 3-ю и 6-ю в табл. 1.1.5. Из таблицы видно, что величины накопленных частот (4-я графа) получают путем последовательного суммирования (снизу вверх) исходного распределения частот (3-я графа). Процентную сумму накопленных частот получают, разделив значение каждой накопленной частоты на общее число данных (в нашем примере оно было равно 50) и умножив частное на 100. Необходимо при этом помнить, что процентная сумма накопленных частот в каждом классе группировки относится к верхней границе данного класса. Это означает, что ниже, например, гра-
°
12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Центры классов (XL)
Рис. 1.1.6. Гистограмма и кривая накопленных частот первичных результатов исследования выборки (см. табл. 1.1.5).
24
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
ницы 5-го класса находится 35, или 70%, случаев всех наблюдений. Гистограмму и ход кривой накопленных частот, а также суммы накопленных частот можно представить графически (рис. 1.1.6).
На основе описанного только что метода представления первичных результатов — табличного и графического — может быть произведен расчет статистических показателей. Цель этих расчетов в том, чтобы с помощью простых показателей дать математическую оценку результатов эксперимента или наблюдения. Наиболее часто используемыми статистическими показателями распределения являются меры центральной тенденции и меры рассеивания.
Меры центральной тенденции. Среди множества мер центральной тенденции для обработки результатов психологических исследований чаще всего используют среднюю арифметическую величину (М) и медиану (Me).
В случае небольшого числа первичных результатов и отсутствия предварительной их группировки значение средней арифметической получают путем последовательного суммирования исходных величин (X) с последующим делением этой суммы на общее количество исходных данных (N):
.IX N
Если массив первичных данных был подвергнут предварительной группировке, то для вычисления средней арифметической величины проделывают следующие операции. Для каждого класса группировки определяют произведение частоты класса (/) на центр группировки класса (X.), а затем суммируют эти произведения и полученную величину делят на общее количество исходных данных АЛ'
Л1 = -
М =
T.f-x,
N
Так, для примера, приведенного в табл. 1.1.4, мы имеем: 57+52+141+
+168+222+224+324+132+136+24=1480 и
1480
50
=29,60, т. е. М=29,60.
Второй мерой центральной тенденции, особенно для порядковых величин, является медиана. Медиана — это точка на измерительной шкале, выше которой находится точно половина наблюдений и ниже которой — также точно половина наблюдений. В этом определении важно подчеркнуть, что медиана — это точка на шкале, а не отдельное измерение или наблюдение. На примере данных табл. 1.1.4 продемонстрируем этапы вычисления медианы на основе сгруппированных данных.
1. Находим половину наблюдений в массиве данных т. е. N/ 2. В нашем примере: 50:2=25,0.
2. Суммируем частоты, начиная с минимального класса группировки, до класса, содержащего половину необходимых наблюдений т. е. медиану. Для нашего примера, в котором N=50, половиной наблюдений будет 25. Итак, по данным табл. 1.1.4 это: 2+8+6+12=28. Отсюда очевидно, что
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...________________ДД
медиана предположительно расположена в 4-м классе группировки, точные границы которого 24,5 и 29,5.
3. Определяем, сколько же наблюдений из класса, содержащего медиану, необходимо для того, чтобы найти ее. Поскольку сумма накопленных частот из предыдущих трех классов равна 16 (см. табл. 1.1.5), то ясно, что из медианного класса необходимо еще 9 наблюдений, а именно 25-16=9.
4. Вычисляем ту долю интервала на шкале, которая позволит определить точное положение медианы. Если в медианном классе имеем 12 наблюдений и наблюдения в пределах класса распределены равномерно, то при ширине класса, равной 5 единицам, получаем: 9/12x5=3,75.
5. Прибавляем полученный результат к нижней точной границе класса группировки, содержащего медиану: 24,5+3,75=28,25. Это и есть ее значение: Afe=28,25. Существует аналитическая формула для интерполяции медианы:
IW-R
h
где / — нижняя точная граница класса группировки содержащего медиану; Рь — сумма частот классов1 ниже /; / — сумма частот класса, содержащего медиану; N — число наблюдении или измерений; i — ширина класса группировки.
Как видно из нашего примера, когда распределение первичных результатов наблюдений или измерений отличается от нормального, то величины средней арифметической и медианы не совпадают: 29,60*28,25.
Меры изменчивости. В качестве мер изменчивости результатов, характеризующих степень рассеивания отдельных величин вокруг средней арифметической, используются разные меры в зависимости от примененных шкал измерения. Для характеристики рассеивания величин интервальных шкал и шкал отношений пользуются значением среднеквадратичного отклонения (а). Для величин порядковых шкал используют значения полуквар-тильных отклонений (Q, и Q3).
При несгруппированных данных произведем расчет так называемого стандартного отклонения, обозначаемого S. Понятие стандартного отклонения (S) на практике чаще всего используется как синоним среднего квадратичного отклонения (а). Расчет делается следующим образом:
1. Рассчитаем среднюю арифметическую величину (М).
2. Находим отклонение (х) каждого результата измерения (X) от средней арифметической величины: х=Х-М.
3. Возводим найденное значение отклонения каждого результата от среднего в квадрат: я2.
4. Суммируем значения квадратов отклонений всех результатов: Ех2.
' Величина Fb в данной формуле соответствует по своему смыслу величине накопленных частот (/ ), расчет которой был продемонстрирован выше.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183