При значениях коэффициентов ± 1 можно говорить об отношении тождественности между переменными.
При сравнении порядковых величин пользуются коэффициентом ранговой корреляции по Ч. Спирмену (р), при сравнении интервальных величин — коэффициентом корреляции произведений по К. Пирсону (г). Рассмотрим кратко способы расчета этих коэффициентов.
Допустим, что с помощью двух опросников (X и Y), требующих альтернативных ответов «да» или «нет», были получены первичные результаты — ответы 15 испытуемых (N=15). Результаты представлены в виде сумм баллов за утвердительные ответы («да») для каждого испытуемого отдельно для опросника X и опросника У. Требуется определить, измеряют ли опросники X и Y похожие личностные качества испытуемых, или не измеряют. Можно предположить, что если опросники по содержанию и формулировкам мало отличаются друг от друга, то сумма баллов, набранная каждым из испытуемых по опроснику X, будет близка к сумме баллов, набранных по опроснику Y.
Полученные в эксперименте первичные результаты представляют собой два ряда порядковых величин для переменной X и для переменной Y. Для установления взаимосвязи между каждой парой порядковых величин применяют коэффициент порядковой корреляции Спирмена (р). Для расчета величины р известна следующая формула:
. 6Irf2 Р N(N2-l)'
где N — число сравниваемых пар величин двух переменных и d2 — квадрат разностей рангов этих величин.
Для вычисления предстоит проделать ряд операций. Прежде всего надлежит табулировать все первичные результаты (табл. 1.1.7). В 1-й графе записывают номер испытуемого, а во 2-й и 3-й — полученные им суммы баллов по первой методике (переменная X) и по второй (переменная У).
Затем каждому первичному результату присваивают ранг. Эта процедура называется ранжированием. Начинают ее с того, что среди всех значений переменной X находят наибольшее и в одной строке с ним, но уже в 4-й графе (Rx) проставляют единицу, что и означает 1-й ранг. В нашем случае мак-
30
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.7
Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента корреляции по Спирмену (р)
Номер испытуемого
Л
У
КХ
RY
d
d2
1
47
75
11,0
8,0
3,0
9,00
2
71
79
4,0
6,0
2,0
4,00
3
52
85
9,0
5,0
4,0
16,00
4
48
50
10,0
14,0
4,0
16,00
5
35
49
14,5
15,0
0,5
0,25
6
35
59
14,5
12,0
2,5
6,25
7
41
75
12,5
8,0
4,5
20,25
8
82
91
1,0
3,0
2,0
4,00
9
72
102
3,0
1,0
2,0
4,00
10
56
87
7,0
4,0
3,0
9,00
11
59
70
6,0
10,0
4,0
16,00
12
73
92
2,0
2,0
0,0
0,00
13
60
54
5,0
13,0
8,0
64,00
14
55
75
8,0
8,0
0,0
0,00
15
41
68
12,5
11,0
1,5
2,25
Таким образом: p = 1-
Sd'=71,00 = 0,695.
симальное число баллов по методике X получил испытуемый № 8, и поэтому именно его результату следует присвоить 1-й ранг. Затем находят второй по величине результат и в его строке указывают соответственно 2-й ранг. В нашем примере необходимо обратить внимание на следующее: испытуемые № 7 и 15 получили по 41 баллу, а испытуемые № 5 и 6 —по 35 баллов. Для таких случаев принято следующее правило: если в ранжируемом ряду встречаются одинаковые величины, то для них находят среднее значение и Считают, что оно определяет ранг как одной, так и другой величины. Следовательно, испытуемым № 7 и 15 надо присвоить одинаковый ранг, а именно 12,5, а испытуемым № 5 и 6 — 14,5, поскольку (12+13):2= 12,5 и (14+15): 2=14,5. Аналогично осуществляют ранжирование по второй методике, т. е. для переменной У. Заметим, что в данном случае уже трое испытуемых № 1,7 и 14 получили по одинаковому числу баллов — 75. Первичным результатам этих испытуемых должны были бы быть присвоены 7, 8 и 9-й ранги.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________31
Усреднив эти ранги, каждому испытуемому присваивают одинаковый ранг, в данном случае — 8-й.
На следующем этапе табулирования определяют разность рангов для каждой пары значений X и Y и полученные результаты проставляют в 6-й графе: d =RX~RY. Наконец, в 7-й графе отражены значения квадратов разности рангов, т. е. d2 для каждой пары X и Y. Полученные величины суммируют и записывают в последней строке таблицы: Id2. Полученную величину (в нашем примере 1о?2 = 171) и подставляют в формулу коэффициента ранговой корреляции.
В нашем примере р =0,695. Положительное значение полученного коэффициента позволяет утверждать, что оба опросника — X и Y — дают возможность выявлять похожие, но не идентичные личностные свойства.
Коэффициент корреляции по формуле Пирсона рассчитывается на основе отклонения первичных результатов и среднего квадратичного отклонения от их среднеарифметического значения. Формула расчета коэффициента корреляции по К. Пирсону может быть представлена следующим образом:
'" WY'
где х — отклонение величины X (первичного результата) от средней арифметической Мх; у — отклонение величины Y (первичного результата) от средней арифметической MY; "Zx-y — алгебраическая сумма произведений отклонений х и у от Мх и Му; N — объем выборки сравниваемых пар первичных результатов; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов X; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов Y.
Рассмотрим пример, который позволит проследить этапы расчета. Допустим, что переменная Xпредставлена результатами измерения (в сантиметрах) величины коленного рефлекса при инструкции расслабить мышцы; переменная Y — то же, но при инструкции напрячь мышцы (табл. 1.1.8). Проверяется гипотеза о том, что величины коленного рефлекса не взаимосвязаны между собой.
Последовательность расчета коэффициента следующая. 1. По формулам
находим средние арифметические значения для переменных X и Y (в нашем примере Мх=7,5; Мг=8,0).
2. Находим величины отклонений каждого из первичных результатов от Мх и МY — соответственно х и у (см. 4-ю и 5-ю графы).
3. Значение каждого отклонения х к у возводим в квадрат: х2 и у2 (см. 5-ю и 6-ю графы).
32
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.8
Расчет коэффициента корреляции по Пирсону (г)
Номер
X
У
X
У
хг
у'
х.у
пары
измерения
1
10
7
+2,5
1
6,25
1
-2,5
2
8
9
+0,5
+ 1
0,25
1
+0,5
3
6
11
-1,5
+3
2,25
9
-4,5
4
6
3
-1,5
-5
2,25
25
+7,5
5
13
11
+5,5
+3
30,25
9
+16,5
6
5
7
-1,5
— 1
6,25
1
+2,5
7
12
14
+4,5
+6
20,25
36
+27,0
8
10
11
+2,5
+3
6,25
9
+7,5
9
3
6
-4,5
-2
20,25
4
+9,0
10
2
1
-5,5
-7
30,25
49
+38,5
X:
75
83
0,0
0,0
124,50
144
+ 102,0
М:
7,5
8,0
Таким образом: rXY=-
102,0
= 102,0 10-3,53-3,79 ~ 133,78
= 0,76.
4. По формуле для среднего квадратичного отклонения рассчитываем о^ и о (в нашем примере ах=3,53; ст =3,79).
5. Определяем произведения для каждой пары отклонений (см.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183
При сравнении порядковых величин пользуются коэффициентом ранговой корреляции по Ч. Спирмену (р), при сравнении интервальных величин — коэффициентом корреляции произведений по К. Пирсону (г). Рассмотрим кратко способы расчета этих коэффициентов.
Допустим, что с помощью двух опросников (X и Y), требующих альтернативных ответов «да» или «нет», были получены первичные результаты — ответы 15 испытуемых (N=15). Результаты представлены в виде сумм баллов за утвердительные ответы («да») для каждого испытуемого отдельно для опросника X и опросника У. Требуется определить, измеряют ли опросники X и Y похожие личностные качества испытуемых, или не измеряют. Можно предположить, что если опросники по содержанию и формулировкам мало отличаются друг от друга, то сумма баллов, набранная каждым из испытуемых по опроснику X, будет близка к сумме баллов, набранных по опроснику Y.
Полученные в эксперименте первичные результаты представляют собой два ряда порядковых величин для переменной X и для переменной Y. Для установления взаимосвязи между каждой парой порядковых величин применяют коэффициент порядковой корреляции Спирмена (р). Для расчета величины р известна следующая формула:
. 6Irf2 Р N(N2-l)'
где N — число сравниваемых пар величин двух переменных и d2 — квадрат разностей рангов этих величин.
Для вычисления предстоит проделать ряд операций. Прежде всего надлежит табулировать все первичные результаты (табл. 1.1.7). В 1-й графе записывают номер испытуемого, а во 2-й и 3-й — полученные им суммы баллов по первой методике (переменная X) и по второй (переменная У).
Затем каждому первичному результату присваивают ранг. Эта процедура называется ранжированием. Начинают ее с того, что среди всех значений переменной X находят наибольшее и в одной строке с ним, но уже в 4-й графе (Rx) проставляют единицу, что и означает 1-й ранг. В нашем случае мак-
30
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.7
Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента корреляции по Спирмену (р)
Номер испытуемого
Л
У
КХ
RY
d
d2
1
47
75
11,0
8,0
3,0
9,00
2
71
79
4,0
6,0
2,0
4,00
3
52
85
9,0
5,0
4,0
16,00
4
48
50
10,0
14,0
4,0
16,00
5
35
49
14,5
15,0
0,5
0,25
6
35
59
14,5
12,0
2,5
6,25
7
41
75
12,5
8,0
4,5
20,25
8
82
91
1,0
3,0
2,0
4,00
9
72
102
3,0
1,0
2,0
4,00
10
56
87
7,0
4,0
3,0
9,00
11
59
70
6,0
10,0
4,0
16,00
12
73
92
2,0
2,0
0,0
0,00
13
60
54
5,0
13,0
8,0
64,00
14
55
75
8,0
8,0
0,0
0,00
15
41
68
12,5
11,0
1,5
2,25
Таким образом: p = 1-
Sd'=71,00 = 0,695.
симальное число баллов по методике X получил испытуемый № 8, и поэтому именно его результату следует присвоить 1-й ранг. Затем находят второй по величине результат и в его строке указывают соответственно 2-й ранг. В нашем примере необходимо обратить внимание на следующее: испытуемые № 7 и 15 получили по 41 баллу, а испытуемые № 5 и 6 —по 35 баллов. Для таких случаев принято следующее правило: если в ранжируемом ряду встречаются одинаковые величины, то для них находят среднее значение и Считают, что оно определяет ранг как одной, так и другой величины. Следовательно, испытуемым № 7 и 15 надо присвоить одинаковый ранг, а именно 12,5, а испытуемым № 5 и 6 — 14,5, поскольку (12+13):2= 12,5 и (14+15): 2=14,5. Аналогично осуществляют ранжирование по второй методике, т. е. для переменной У. Заметим, что в данном случае уже трое испытуемых № 1,7 и 14 получили по одинаковому числу баллов — 75. Первичным результатам этих испытуемых должны были бы быть присвоены 7, 8 и 9-й ранги.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________31
Усреднив эти ранги, каждому испытуемому присваивают одинаковый ранг, в данном случае — 8-й.
На следующем этапе табулирования определяют разность рангов для каждой пары значений X и Y и полученные результаты проставляют в 6-й графе: d =RX~RY. Наконец, в 7-й графе отражены значения квадратов разности рангов, т. е. d2 для каждой пары X и Y. Полученные величины суммируют и записывают в последней строке таблицы: Id2. Полученную величину (в нашем примере 1о?2 = 171) и подставляют в формулу коэффициента ранговой корреляции.
В нашем примере р =0,695. Положительное значение полученного коэффициента позволяет утверждать, что оба опросника — X и Y — дают возможность выявлять похожие, но не идентичные личностные свойства.
Коэффициент корреляции по формуле Пирсона рассчитывается на основе отклонения первичных результатов и среднего квадратичного отклонения от их среднеарифметического значения. Формула расчета коэффициента корреляции по К. Пирсону может быть представлена следующим образом:
'" WY'
где х — отклонение величины X (первичного результата) от средней арифметической Мх; у — отклонение величины Y (первичного результата) от средней арифметической MY; "Zx-y — алгебраическая сумма произведений отклонений х и у от Мх и Му; N — объем выборки сравниваемых пар первичных результатов; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов X; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов Y.
Рассмотрим пример, который позволит проследить этапы расчета. Допустим, что переменная Xпредставлена результатами измерения (в сантиметрах) величины коленного рефлекса при инструкции расслабить мышцы; переменная Y — то же, но при инструкции напрячь мышцы (табл. 1.1.8). Проверяется гипотеза о том, что величины коленного рефлекса не взаимосвязаны между собой.
Последовательность расчета коэффициента следующая. 1. По формулам
находим средние арифметические значения для переменных X и Y (в нашем примере Мх=7,5; Мг=8,0).
2. Находим величины отклонений каждого из первичных результатов от Мх и МY — соответственно х и у (см. 4-ю и 5-ю графы).
3. Значение каждого отклонения х к у возводим в квадрат: х2 и у2 (см. 5-ю и 6-ю графы).
32
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.8
Расчет коэффициента корреляции по Пирсону (г)
Номер
X
У
X
У
хг
у'
х.у
пары
измерения
1
10
7
+2,5
1
6,25
1
-2,5
2
8
9
+0,5
+ 1
0,25
1
+0,5
3
6
11
-1,5
+3
2,25
9
-4,5
4
6
3
-1,5
-5
2,25
25
+7,5
5
13
11
+5,5
+3
30,25
9
+16,5
6
5
7
-1,5
— 1
6,25
1
+2,5
7
12
14
+4,5
+6
20,25
36
+27,0
8
10
11
+2,5
+3
6,25
9
+7,5
9
3
6
-4,5
-2
20,25
4
+9,0
10
2
1
-5,5
-7
30,25
49
+38,5
X:
75
83
0,0
0,0
124,50
144
+ 102,0
М:
7,5
8,0
Таким образом: rXY=-
102,0
= 102,0 10-3,53-3,79 ~ 133,78
= 0,76.
4. По формуле для среднего квадратичного отклонения рассчитываем о^ и о (в нашем примере ах=3,53; ст =3,79).
5. Определяем произведения для каждой пары отклонений (см.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183