"Вот почему Евклид за отсутствием отчетливо выраженной идеи,
т.е. определения прямой линии (так как его провизорное определение прямой
неясно и он им не пользуется в своих доказательствах), был вынужден
обратиться к двум аксиомам, которые заменяли у него определение и которыми
он пользовался в своих доказательствах. Первая аксиома гласит, что две
прямые не имеют общей части, а вторая - что они не заключают пространства.
Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это
кратчайшая линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих доказательствах
такими элементами, как евклидовы, которые основаны на только что упомянутых
мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих
аксиомах, принадлежат определенной им линии".
Но если основания античной геометрии были столь непрочны, то как же следует
отнестись к построенному на них зданию? Что это - строгая научная система,
какой считали геометрию и в античности, и в средние века, и уж тем более в
XVII столетии, или же это просто практическое искусство, способ решения
технико-практических задач, каким с древности считали логистику? В самом
деле, если очевидность евклидовых аксиом носит не чисто логический
характер, а опирается и на воображение (что несомненно), то "Начала"
невозможно считать строго научной системой.
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же
"лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся
ему (Евклиду. - П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем
оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям
свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже
при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия,
которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того,
как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
Но в таком случае возникает другой вопрос: если без предлагаемого Лейбницем
анализа возможно создание столь логически стройной и все-таки весьма
достоверной науки, как античная геометрия, то так ли уж необходим этот
анализ? На эту неувязку в рассуждениях Лейбница обратил внимание В.
Каринский в своей работе "Умозрительное знание в философской системе
Лейбница". "Может быть, - пишет Каринский, - в этом слишком энергическом
выражении мысли о совершенной достоверности геометрии в различии от
метафизики, несмотря на то, что аксиомы для общего создания оставались без
аналитического доказательства, можно видеть ослабление основного
критического значения, приписываемого Лейбницем своей теории анализа".
В. Каринский прав: складывается такое впечатление, что Лейбниц принимает,
помимо высшего рода достоверности, который может быть обеспечен лишь
анализом понятий, также и некоторый как бы промежуточный род и к нему как
раз относит аксиомы Евклида.
Древние философы, рассуждает Лейбниц, так же как и математики, именно в
Греции начали требовать строгости доказательства, стремясь таким образом
найти первичные аксиомы, и, хотя до конца выполнить это требование в
математике им и не удалось, все же достигнутое ими намного превзошло то,
что было сделано до них. Греческие математики не считали возможным
принимать за науку то, что дает чувственное представление. Этим, по
Лейбницу, "могут довольствоваться только люди, имеющие в виду практическую
геометрию как таковую, но не те, кто желает иметь науку, которая сама
служила бы усовершенствованию практики. Если бы древние придерживались
этого взгляда и не проявили строгости в этом пункте, то, думаю, они не
пошли бы далеко вперед и оставили бы нам в наследство лишь такую
эмпирическую геометрию, какой была, по-видимому, египетская геометрия и
какой является, кажется, китайская геометрия еще и теперь. В этом случае мы
оказались бы лишенными прекраснейших открытий в области физики и механики,
которые мы сделали благодаря нашей геометрии и которые неизвестны там, где
последней нет".
Как видим, Лейбниц, так же как и его предшественники Кеплер, Коперник,
Галилей и Декарт, видит прямую преемственность между механикой нового
времени и античной математикой. Их суждения мы должны принимать во
внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII
столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и
средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была
существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в
рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы
имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового
времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем
обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155
т.е. определения прямой линии (так как его провизорное определение прямой
неясно и он им не пользуется в своих доказательствах), был вынужден
обратиться к двум аксиомам, которые заменяли у него определение и которыми
он пользовался в своих доказательствах. Первая аксиома гласит, что две
прямые не имеют общей части, а вторая - что они не заключают пространства.
Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это
кратчайшая линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих доказательствах
такими элементами, как евклидовы, которые основаны на только что упомянутых
мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих
аксиомах, принадлежат определенной им линии".
Но если основания античной геометрии были столь непрочны, то как же следует
отнестись к построенному на них зданию? Что это - строгая научная система,
какой считали геометрию и в античности, и в средние века, и уж тем более в
XVII столетии, или же это просто практическое искусство, способ решения
технико-практических задач, каким с древности считали логистику? В самом
деле, если очевидность евклидовых аксиом носит не чисто логический
характер, а опирается и на воображение (что несомненно), то "Начала"
невозможно считать строго научной системой.
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же
"лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся
ему (Евклиду. - П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем
оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям
свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже
при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия,
которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того,
как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
Но в таком случае возникает другой вопрос: если без предлагаемого Лейбницем
анализа возможно создание столь логически стройной и все-таки весьма
достоверной науки, как античная геометрия, то так ли уж необходим этот
анализ? На эту неувязку в рассуждениях Лейбница обратил внимание В.
Каринский в своей работе "Умозрительное знание в философской системе
Лейбница". "Может быть, - пишет Каринский, - в этом слишком энергическом
выражении мысли о совершенной достоверности геометрии в различии от
метафизики, несмотря на то, что аксиомы для общего создания оставались без
аналитического доказательства, можно видеть ослабление основного
критического значения, приписываемого Лейбницем своей теории анализа".
В. Каринский прав: складывается такое впечатление, что Лейбниц принимает,
помимо высшего рода достоверности, который может быть обеспечен лишь
анализом понятий, также и некоторый как бы промежуточный род и к нему как
раз относит аксиомы Евклида.
Древние философы, рассуждает Лейбниц, так же как и математики, именно в
Греции начали требовать строгости доказательства, стремясь таким образом
найти первичные аксиомы, и, хотя до конца выполнить это требование в
математике им и не удалось, все же достигнутое ими намного превзошло то,
что было сделано до них. Греческие математики не считали возможным
принимать за науку то, что дает чувственное представление. Этим, по
Лейбницу, "могут довольствоваться только люди, имеющие в виду практическую
геометрию как таковую, но не те, кто желает иметь науку, которая сама
служила бы усовершенствованию практики. Если бы древние придерживались
этого взгляда и не проявили строгости в этом пункте, то, думаю, они не
пошли бы далеко вперед и оставили бы нам в наследство лишь такую
эмпирическую геометрию, какой была, по-видимому, египетская геометрия и
какой является, кажется, китайская геометрия еще и теперь. В этом случае мы
оказались бы лишенными прекраснейших открытий в области физики и механики,
которые мы сделали благодаря нашей геометрии и которые неизвестны там, где
последней нет".
Как видим, Лейбниц, так же как и его предшественники Кеплер, Коперник,
Галилей и Декарт, видит прямую преемственность между механикой нового
времени и античной математикой. Их суждения мы должны принимать во
внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII
столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и
средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была
существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в
рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы
имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового
времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем
обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155