[А,1<--, (3.1.6)
[А.кУ
где Sa - дисперсия эмпирической оценки асимметрии.
S,=-"-- (3.1.7)
(n+l)(n+3)
где р - уровень значимости или вероятность ошибки первого рода:
ошибки в том, что будет принят вывод о незначимости асимметрии при
наличии значимой асимметрии (в формулу подставляют стандартные
Р=0,05 или р==0,01 и проверяют выполнение неравенства).
Сходным образом оценивается значимость эксцесса:
11 <
У, (3.1.8)
где Se - эмпирическая дисперсия оценки эксцесса, определяемая по
формуле
s - 24п(<-2)(п-3)
(n+(n+S)(n+5)
Гипотезы об отсутствии асимметрии и эксцесса принимаются с ве-
роятностью ошибки? (пренебрежимо малой), если выполняются нера-
венства (3.1.6) и (3.1.8).
Более легкий метод проверки нормальности эмпирического распре-
деления основывается на универсальном критерии Колмогорова.
Для каждого тестового балла у, (для каждого интервала равнознач-
ности при дискретизации непрерывной хронометрической шкалы) вы-
числяется величина D) - модуль отклонения эмпирической и теорети-
ческой интегральной функции распределения:
D,=\F(y,)-U(z,)\, (3.1.10)
где F - эмпирическая интегральная функция (значение кумуляты
в данной точке у,), U - теоретическая интегральная, взятая из таб-
лиц. Среди Dj отыскивается максимальное значение JDmax и величина
=?)шахУп сравнивается с табличным значением Kt критерия Колмо-
горова.
Величина z; определяется после стандартизации шкалы в единицах стандарт-
ного отклонения: SZ-==--
S
STR.62
Ниже в таблице 3 приводятся асимптотические критические значе-
ния для распределения Колмогорова (при п-"оо). Близость эмпири-
ческого значения Ке к левосторонним стандартным квантилям Ki из
табл. 3 позволяет констатировать близость эмпирического и предпола-
гаемого теоретического распределения с пренебрежимо малой вероят-
ТаблицаЗ
Квантиль \f Вероятность р0,44 0,990,52 0,950,57 0,90,61 0,850,65 0,80,71 0,7
Квантиль К( Вероятность р0,89 0,40,97 0,31,07 0,21,22 0,151,36 0,051,52 0,021,63 0,01
ностью ошибки р ,(0,0l; 0,05; 0,10 и т. п.). Близость Ке к правосторон-
ним стандартным квантилям Ki позволяет делать вывод о статистиче-
ски значимом отсутствии согласованности эмпирического и теоретиче-
ского распределения. Надо помнить, что критерий Колмогорова, очень
простой в вычислительном отношении, обеспечивает надежные выводы
лишь при п 5>200. Критерий Колмогорова резко снижает свою эффек-
тивность, когда наблюдения группируются по малому числу интерва-
лов равнозначности. Например, при п==200 число интервалов должно
<быть не менее 20 (примерно по 10 наблюдений на каждый интервал в
среднем).
Если проверка согласованности эмпирического распределения с
.нормальным дает положительные результаты, то это означает, что по-
лученное распределение можно рассматривать как устойчивое - реп-
резентативное по отношению к генеральной совокупности - и, следо-
вательно, на его основе можно определить репрезентативные тестовые
нормы. Если проверка не-выявляет нормальности на требуемом уров-
не, то это означает, что либо выборка мала и нерепрезентативна к по-
пуляции, либо измеряемые свойство и устройство теста (способ под-
счета) вообще не дают нормального распределения.
В принципе отнюдь не обязательно все нормативные распределения
сводить к нормальным. Можно с равным успехом пользоваться хоро-
шо разработанными моделями гамма-распределения, пуассоновскогс
распределения и т. п. Критерий Колмогорова позволяет оценить бли
зость вашего эмпирического распределения к любому теоретическому
распределению. При этом .устойчивым и репрезентативным может ока-
заться распределение любого типа. Если из нормальности, как прави-
ло, следует устойчивость, то обратное неверно - устойчивость вовс(
не обязательно предполагает нормальность распределения.
Наличие значимой положительной асимметрии (см. рис. 2а) свиде
тельствует о том, что в системе факторов, детерминирующих значение
измеряемого показателя, преобладают факторы, действующие в одно1
направлении - в сторону повышения показателя. Такого рода откло
нения появляются при использовании хронометрических показателей
испытуемый не может выполнить задачу быстрее определенного мини
мально необходимого периода, но может существенно долго задержи
ваться. На практике распределения такого рода преобразуют в нор
мальное (приближенно нормальное) с помощью логарифмической
трансформации:
Zj==\ny,. (3.1-11)
При этом говорят, что распределение хронометрических показате
лей подчиняется <логнормальному> закону.
62
STR.63
Подобную алгебраическую нормализацию тестовой шкалы приме-
няют и к показателям с еще более резко выраженной положительной
асимметрией. Например, в процедурах контент-анализа сам тестовый
показатель является частотным - он измеряет частоту появления оп-
ределенных категорий событий в текстах. Для редких категорий веро-
ятность появления значительно меньше 0,5. Формула преобразования
z,==-arcsin" (3.1.12)
позволяет придать необходимую
мы стандартизации. Под стандартизацией теста понимают прежде все-
го стандартизацию самой процедуры проведения инструкций, бланков,
способа регистрации, условий и т. п. Без стандартизации теста невоз-
можно получить нормативного распределения тестовых баллов и, сле-
довательно, тестовых норм.
Под стандартизацией шкалы понимают линейное преобразование
масштаба нормальной (или искусственно нормализованной) шкалы,
В общем случае формула стандартизации выглядит так:
_ i
2,-о---+М, (3.1.13)
о
где х, - исходный балл по <сырой> шкале, для которой доказана нор-
мальность распределения;
Х - среднее арифметическое по <сырому> распределению;
S - <сырое> стандартное отклонение;
М - математическое ожидание по выбранной стандартной шкале;
о - стандартное отклонение по стандартной шкале.
Если шкала подвергалась предварительной искусственной нормализа-
ции интервалов, то формула упрощается:
z.=az,+M. (3.1.14)
Приведем параметры для наиболее популярных стандартных шкал:
1) Т-шкала Маккола (тест-опросник ММР1 и др. тесты):
М==50 и (т=10,
2) шкала /Q: М==100 и о=15,
3) шкала <стэнайнов> (целочисленные значения от 1 до 9- стан-
дартная девятка): М=5,0 и <т=2,
4) шкала <стенов> (стандартная десятка, 16PF Кэттелла):
М=5,5 и <т=2.
Чтобы различать стандартные баллы, полученные с помощью ли-
нейной стандартизации и нелинейной нормализации интервалов,
Р. Кэттелл ввел понятие <.S-стенов> и <п-стенов>. Таблицы <п-стенов>,
естественно, точнее отражают квантили эмпирического нормального
распределения. Для наглядности приведем образец такой таблицы для
фактора А из тест-опросника 16PF:
Сырые очки 0-4 5-6 7 8-9 10-12 13 14-15 16 17-18 19-20
Стены 12345 67 89 10
Применение стандартных шкал позволяет прибегать на практике к
более грубым, приближенным способам проверки типа распределения
тестовых баллов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144