в последних Аристотель видит исключение в том смысле, что "в
движении по качеству может быть само по себе неделимое". Это соображение
Аристотеля послужило впоследствии толчком к разработке в средние века
учения об интенсификации и ремиссии качеств - учения, которое в конечном
счете оказывалось несовместимым с принципами аристотелевской физики и
выводило за ее пределы, подготовляя тем самым научную революцию XVI-XVII вв.
Итак, ответ Аристотеля на вопрос о том, как возможно мыслить начало
движения и изменения, гласит: такое начало мыслить невозможно в силу
бесконечной делимости всякой величины и всякого времени. Первого момента
никогда нельзя схватить, ибо "момент" означал бы нечто неделимое. Ничто,
таким образом, не происходит "вдруг". Как справедливо отмечает В.П. Зубов,
"мгновенные действия в перипатетической физике были исключены".
Что же касается "конца" изменения, то, кроме изменения по качеству,
имеющего такой конец, никакой другой вид движения не имеет "первого в
отношении конца": "И как нет ничего первого, в котором начинает движение
движущеесъ, так нет и того, в котором останавливается останавливающееся,
ибо ни для движения, ни для остановки нет ничего первого".
Учение о непрерывности, как видим, требует последовательности: не признавая
неделимости применительно к величине, времени и движению, Аристотель
вынужден допустить отсутствие первого момента - первого как с начала, так и
с конца. Этот принцип "отсутствия первого" находит свое завершение в
космологии Аристотеля. В полном соответствии с этим принципом Аристотель не
признает ни начала, ни конца мира; ни время, ни движение не могли иметь
начала, так же как никогда не будут иметь конца.
Но если величина (линия) и время непрерывны, то что же тогда представляют
собой точка на линии и момент во времени, который мы называем "теперь"?
Точка на линии и (аналогично) "миг" на непрерывной "линии" времени,
называемый нами "теперь", являются неделимыми; но, будучи таковыми, они
принципиально разнородны со всем, что делимо: точка - с линией, а "теперь"
- со временем. Точка не имеет величины; она есть граница линии; точно так
же "теперь" не есть время, а есть граница времени. "Необходимо, - пишет
Аристотель, - чтобы "теперь", взятое не по отношению к другому, а само по
себе, первично, было неделимым... Ведь оно представляет собой какой-то
крайний предел прошедшего, за которым нет еще будущего, и обратно, предел
будущего, за которым нет уже прошлого, что... является границей того и
другого".
Поскольку "теперь" неделимо, то в момент "теперь" нет никакого движения,
что логически вытекает из вышеизложенного. Но и покой, говорит Аристотель,
в "теперь" тоже невозможен, ибо как покой, так и движение, будучи
непрерывными состояниями, могут существовать только во времени, поскольку
оно тоже непрерывно. Из этого с необходимостью следует, что неделимая точка
не может двигаться; ведь двигаться неделимое могло бы только при условии,
если бы можно было двигаться в неделимые мгновения - из одного "теперь" в
другое "теперь"; в "теперь" невозможно ни движение, ни покой. Значит,
двигаться и изменяться может только то, что само имеет величину (а значит,
делимо); только такие объекты и подлежат изучению физики - науки о движении
и изменении. "Не имеющее частей двигаться и вообще изменяться не может; в
одном только случае было бы для него возможно движение: это если бы время
состояло из отдельных "теперь", ибо в момент "теперь" его движение всегда
было бы закончено и изменение произошло, так что, никогда не двигаясь, оно
всегда находилось бы в состоянии законченного движения". А это невозможно.
Неделимая точка двигаться не может, иначе пришлось бы допустить, что линия
состоит из точек, заключает Аристотель.
Таковы выводы, вытекающие из аристотелевского понимания континуума. Нам
представляется, что аристотелевское учение о непрерывности органически
связано с его методологическим принципом, рассмотренным нами в предыдущих
разделах, а именно с принципом опосредования: подобно тому, как в логике и
метафизике Аристотель ищет средний термин, то, что "лежит между", и
связывает два крайних термина, подобно этому и в основу всей науки о
природе он кладет учение о континууме, согласно которому между любыми двумя
точками (на линии, во времени и т.д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
движении по качеству может быть само по себе неделимое". Это соображение
Аристотеля послужило впоследствии толчком к разработке в средние века
учения об интенсификации и ремиссии качеств - учения, которое в конечном
счете оказывалось несовместимым с принципами аристотелевской физики и
выводило за ее пределы, подготовляя тем самым научную революцию XVI-XVII вв.
Итак, ответ Аристотеля на вопрос о том, как возможно мыслить начало
движения и изменения, гласит: такое начало мыслить невозможно в силу
бесконечной делимости всякой величины и всякого времени. Первого момента
никогда нельзя схватить, ибо "момент" означал бы нечто неделимое. Ничто,
таким образом, не происходит "вдруг". Как справедливо отмечает В.П. Зубов,
"мгновенные действия в перипатетической физике были исключены".
Что же касается "конца" изменения, то, кроме изменения по качеству,
имеющего такой конец, никакой другой вид движения не имеет "первого в
отношении конца": "И как нет ничего первого, в котором начинает движение
движущеесъ, так нет и того, в котором останавливается останавливающееся,
ибо ни для движения, ни для остановки нет ничего первого".
Учение о непрерывности, как видим, требует последовательности: не признавая
неделимости применительно к величине, времени и движению, Аристотель
вынужден допустить отсутствие первого момента - первого как с начала, так и
с конца. Этот принцип "отсутствия первого" находит свое завершение в
космологии Аристотеля. В полном соответствии с этим принципом Аристотель не
признает ни начала, ни конца мира; ни время, ни движение не могли иметь
начала, так же как никогда не будут иметь конца.
Но если величина (линия) и время непрерывны, то что же тогда представляют
собой точка на линии и момент во времени, который мы называем "теперь"?
Точка на линии и (аналогично) "миг" на непрерывной "линии" времени,
называемый нами "теперь", являются неделимыми; но, будучи таковыми, они
принципиально разнородны со всем, что делимо: точка - с линией, а "теперь"
- со временем. Точка не имеет величины; она есть граница линии; точно так
же "теперь" не есть время, а есть граница времени. "Необходимо, - пишет
Аристотель, - чтобы "теперь", взятое не по отношению к другому, а само по
себе, первично, было неделимым... Ведь оно представляет собой какой-то
крайний предел прошедшего, за которым нет еще будущего, и обратно, предел
будущего, за которым нет уже прошлого, что... является границей того и
другого".
Поскольку "теперь" неделимо, то в момент "теперь" нет никакого движения,
что логически вытекает из вышеизложенного. Но и покой, говорит Аристотель,
в "теперь" тоже невозможен, ибо как покой, так и движение, будучи
непрерывными состояниями, могут существовать только во времени, поскольку
оно тоже непрерывно. Из этого с необходимостью следует, что неделимая точка
не может двигаться; ведь двигаться неделимое могло бы только при условии,
если бы можно было двигаться в неделимые мгновения - из одного "теперь" в
другое "теперь"; в "теперь" невозможно ни движение, ни покой. Значит,
двигаться и изменяться может только то, что само имеет величину (а значит,
делимо); только такие объекты и подлежат изучению физики - науки о движении
и изменении. "Не имеющее частей двигаться и вообще изменяться не может; в
одном только случае было бы для него возможно движение: это если бы время
состояло из отдельных "теперь", ибо в момент "теперь" его движение всегда
было бы закончено и изменение произошло, так что, никогда не двигаясь, оно
всегда находилось бы в состоянии законченного движения". А это невозможно.
Неделимая точка двигаться не может, иначе пришлось бы допустить, что линия
состоит из точек, заключает Аристотель.
Таковы выводы, вытекающие из аристотелевского понимания континуума. Нам
представляется, что аристотелевское учение о непрерывности органически
связано с его методологическим принципом, рассмотренным нами в предыдущих
разделах, а именно с принципом опосредования: подобно тому, как в логике и
метафизике Аристотель ищет средний термин, то, что "лежит между", и
связывает два крайних термина, подобно этому и в основу всей науки о
природе он кладет учение о континууме, согласно которому между любыми двумя
точками (на линии, во времени и т.д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107