Что касается первого,
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби EMBED Equation.2 , равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа. Правда, уже после
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби EMBED Equation.2 , равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа. Правда, уже после
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107