- Если
для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в
дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом
элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,
никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала
принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как
вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они
были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют
как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в
котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от
последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время
геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.
Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается
поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
: t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие
рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания,
теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании
качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это
качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в
арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия
относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от
дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,
к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе
умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению,
это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают,
что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на
половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого
множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины
суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию]
параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять
плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то
плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать
трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате]
плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за
бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности
параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой
прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены
арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не
обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть
указанные две параллельные линии;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в
дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом
элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,
никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала
принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как
вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они
были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют
как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в
котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от
последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время
геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.
Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается
поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
: t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие
рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания,
теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании
качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это
качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в
арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия
относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от
дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,
к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе
умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению,
это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают,
что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на
половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого
множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины
суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию]
параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять
плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то
плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать
трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате]
плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за
бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности
параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой
прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены
арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не
обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть
указанные две параллельные линии;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304