Так как прямая
линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками,
то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем
множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение
определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы
принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем
самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на
различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая
линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и
потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого
качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных
определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно
безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого
равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету,
т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения
величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики
своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые
промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном
движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в
равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е.
существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения,
которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение
есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член,
получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но,
впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние
математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления
бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными
предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным
образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному
способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину
предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение,
например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были,
согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические
законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их
объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном
движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой
кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие
положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике
исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том,
имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому
соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать.
Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно
реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной
(schlechtgleichfennigen) скорости к равномерному ускорению, считается
совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная
связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления.
Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о
существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления,
выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления
бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить
самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических
построениях определений и положений и применять их в таком смысле для
доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново
доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat.
philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с "Астрономией"
Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не
совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело
обстоит не так, как это принимает Ньютон).
Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за
туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства
только на том основании, что то, чтб получалось, всегда было заранее
известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это
заранее известное, создавало по крайней мере видимость остова
доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь
опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто
как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода
фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в особенности принадлежащие к
только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили
его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй
нашел лишь опытным путем.
Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать
физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения
величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей
основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать
по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и
поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта,
находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том,
что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны,
заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее
достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством
встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более
развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем,
что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь
из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь
член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое
существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и
чистоты. - А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его
без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое
неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические
эксперименты и связанные с ними умозаключения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками,
то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем
множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение
определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы
принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем
самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на
различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая
линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и
потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого
качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных
определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно
безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого
равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету,
т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения
величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики
своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые
промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном
движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в
равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е.
существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения,
которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение
есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член,
получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но,
впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние
математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления
бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными
предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным
образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному
способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину
предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение,
например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были,
согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические
законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их
объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном
движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой
кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие
положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике
исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том,
имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому
соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать.
Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно
реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной
(schlechtgleichfennigen) скорости к равномерному ускорению, считается
совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная
связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления.
Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о
существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления,
выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления
бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить
самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических
построениях определений и положений и применять их в таком смысле для
доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново
доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat.
philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с "Астрономией"
Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не
совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело
обстоит не так, как это принимает Ньютон).
Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за
туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства
только на том основании, что то, чтб получалось, всегда было заранее
известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это
заранее известное, создавало по крайней мере видимость остова
доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь
опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто
как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода
фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в особенности принадлежащие к
только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили
его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй
нашел лишь опытным путем.
Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать
физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения
величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей
основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать
по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и
поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта,
находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том,
что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны,
заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее
достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством
встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более
развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем,
что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь
из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь
член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое
существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и
чистоты. - А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его
без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое
неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические
эксперименты и связанные с ними умозаключения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304