На
этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -
некоторым определенным образом выведенная первая производная функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки
дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что
кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,
что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде
всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в
изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание
собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде
всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после
этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как
[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну
ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты
необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как
отличие или качественное определение величины относительно элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в
отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных
величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в
простую интенсивность, в определенность одного качественного момента
отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,
следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем
последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от
него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с
которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего
прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и
ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не
близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь
отрицание близости и приближения.
Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые
разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в
них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные
моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем
отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и
ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. -
Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга
рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с
прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели
элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и
недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т.
д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно
малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. -
Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего
порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике,
.имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и
ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом
прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е.
отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от
присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что
прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между
ними при их бесконечности есть отношение между кривыми.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -
некоторым определенным образом выведенная первая производная функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки
дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что
кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,
что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде
всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в
изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание
собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде
всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после
этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как
[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну
ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты
необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как
отличие или качественное определение величины относительно элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в
отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных
величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в
простую интенсивность, в определенность одного качественного момента
отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,
следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем
последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от
него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с
которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего
прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и
ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не
близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь
отрицание близости и приближения.
Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые
разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в
них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные
моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем
отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и
ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. -
Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга
рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с
прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели
элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и
недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т.
д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно
малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. -
Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего
порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике,
.имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и
ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом
прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е.
отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от
присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что
прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между
ними при их бесконечности есть отношение между кривыми.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304