Затем Декарт
рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку
кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в
другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и
неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы
или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается
одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза
перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе
таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,
следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и
неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении
с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в
первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,
посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует
признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым
не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность
подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям
абсциссы и ординаты.
Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго
члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то
же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого
дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его
дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх
- 9=0 дает Зх2 - р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само
собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При
уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они
переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы
видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что
подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет
значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще
место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение , -
= Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать -
никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще
неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение,
пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было
указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически,
так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет
речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть
известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но
на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний;
оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к
нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy
получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно,
должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное
исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не
следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень
которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И
кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть
выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли
о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их
выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.
Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще
отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа
безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое
определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в
приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней,
следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из
коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция
корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант
(связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается
простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения
дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным
величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из
первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они
сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не
подвергается обсуждению.
В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание
относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем,
которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное",
а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что
обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но
дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в
результате отбрасывания константы устраняется один из моментов
определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины
приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при
интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря
этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность
корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. -
Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная
сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке
зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же
одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая
их специфического, т. е. качественного, различия.
Другая главная область, в которой пользуются дифференциальным
исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных
степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета,
движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно
математическое выражение просто равномерного движения с = - s/t или s = ct,
в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по
некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла
дифференцировать;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку
кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в
другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и
неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы
или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается
одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза
перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе
таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,
следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и
неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении
с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в
первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,
посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует
признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым
не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность
подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям
абсциссы и ординаты.
Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго
члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то
же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого
дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его
дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх
- 9=0 дает Зх2 - р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само
собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При
уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они
переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы
видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что
подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет
значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще
место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение , -
= Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать -
никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще
неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение,
пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было
указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически,
так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет
речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть
известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но
на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний;
оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к
нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy
получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно,
должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное
исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не
следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень
которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И
кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть
выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли
о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их
выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.
Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще
отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа
безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое
определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в
приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней,
следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из
коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция
корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант
(связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается
простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения
дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным
величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из
первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они
сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не
подвергается обсуждению.
В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание
относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем,
которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное",
а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что
обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но
дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в
результате отбрасывания константы устраняется один из моментов
определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины
приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при
интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря
этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность
корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. -
Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная
сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке
зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же
одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая
их специфического, т. е. качественного, различия.
Другая главная область, в которой пользуются дифференциальным
исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных
степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета,
движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно
математическое выражение просто равномерного движения с = - s/t или s = ct,
в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по
некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла
дифференцировать;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304