Но другой частью задачи этого исчисления оказывается с точки зрения
формальной стороны действия его применение. А последнее само есть задача
узнать, какое предметное значение в указанном выше смысле имеет
первоначальная функция, [которую мы находим по] данной функции,
рассматриваемой как первая [производная] функция отдельного предмета. Могло
бы казаться, что это учение, взятое само по себе, нашло свое полное
применение уже в дифференциальном исчислении. Однако здесь возникает еще
одно обстоятельство, осложняющее все дело. А именно, так как в этом
исчислении оказывается, что благодаря первой [производной] функции уравнения
кривой получилось некоторое линейное отношение, то тем самым мы также знаем,
что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в виде отношения
абсциссы и ординаты; другими словами, если бы было дано уравнение для
поверхности, образуемой кривой, то дифференциальное исчисление должно было
бы уже научить нас относительно значения первой [производной] функции такого
уравнения, что эта функция представляет ординату как функцию абсциссы, стало
быть, представляет уравнение кривой.
Но все дело здесь в том, какой из моментов определения предмета дан в
самом уравнении; ведь лишь из данного может исходить аналитическое
исследование, чтобы переходить от него к прочим определениям предмета. Дано,
например, не уравнение поверхности, образуемой кривой, и не уравнение тела,
возникающего посредством ее вращения, а также не уравнение некоторой дуги
этой кривой, а лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой.
Переходы от указанных определений к самому этому уравнению нельзя уже
поэтому исследовать в самом дифференциальном исчислении; нахождение таких
отношений есть дело интегрального исчисления.
Далее, однако, было показано, что дифференцирование уравнения с
несколькими переменными величинами дает степенной член разложения (die
Entwicklungspotenz) или дифференциальный коэффициент не как уравнение, а
только как отношение; задача состоит затем в том, чтобы в моментах предмета
указать для этого отношения, которое есть производная функция, другое,
равное ему. Предмет же интегрального исчисления - само отношение
первоначальной к производной функции, которая должна быть здесь данной, и
задача состоит в том, чтобы указать значение искомой первоначальной функции
в предмете данной первой [производной] функции или, вернее, так как это
значение, например поверхность, образуемая кривой, или подлежащая
выпрямлению кривая, представляемая в виде прямой, и т. д., уже .выражено как
задача, то требуется показать, что подобного рода определение можно найти
посредством некоторой первоначальной функции, и показать, каков момент
предмета, который для этой цели должен быть принят за исходную (производную)
функцию.
Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности,
облегчает себе задачу. Для квадратуры кривых линий он принимает бесконечно
малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент (т. е. на бесконечно
малую часть) ^абсциссы, за трапецию, имеющую одной своей стороной бесконечно
малую дугу, противоположную указанной бесконечно малой части абсциссы.
Произведение это интегрируется в том смысле, что интеграл дает сумму
бесконечно многих трапеций, ту плоскость, которую требуется определить, а
именно конечную величину указанного элемента плоскости. И точно так же
обычный метод образует из бесконечно малой части дуги и соответствующих ей
ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги
считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых,
интегрирование которых и дает конечную дугу.
Этот прием опирается на то общее открытие, которое служит основой этой
области анализа и которое принимает здесь форму положения, что приведенная к
квадрату кривая, выпрямленная дуга и т. д. находится к известной (данной
уравнением кривой) функции в отношении так называемой первоначальной функции
к производной. Здесь дело идет о том, чтобы в случае, если какая-то часть
математического предмета (например, некоторой кривой) принимается за
производную функцию, узнать, какая другая его часть выражена соответствующей
первоначальной функцией. Мы знаем, что если данная уравнением кривой функция
ординаты, принимается за производную функцию, то соответствующая ей
первоначальная функция есть выражение величины образуемой кривой
поверхности, отрезанной этой ординатой, что если то или иное определение
касательной рассматривается как производная функция, то ее первоначальная
функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д.
Однако заботу о том, чтобы узнать и доказать, что эти отношения, отношение
первоначальной функции к производной и отношение величин двух частей или
двух сторон (Umstande) математического предмета, образуют пропорцию, -
заботу об этом снимает с себя метод, пользующийся бесконечно малым и
механически оперирующий им. Характерная для остроумия заслуга - на основании
результатов, уже заранее известных из других источников, открывать, что
некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в
отношении первоначальной и производной функции.
Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше,
функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная
по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из
нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как
не дано само по себе, какую часть или какое определение математического
предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к
первоначальной функции, найти другую часть или другое определение
[предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод,
сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как
бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально
данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как,
[например], для выпрямления кривой - бесконечно малые абсциссы и ординаты),
принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в
такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также
представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной
математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и
та часть, величину которой требуется найти;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304