Он оправдывает метод не столько самой
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для
упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод
рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о
бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы
должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории
приращения и разности функций, переменная величина которой получает
приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в
дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в
соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке
зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в
которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,
которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых
дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении
дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем
примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела
отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не
вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более
подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и
содержится указанная выше истинная категория качественного определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-
следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот
предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать
некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.
д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к
такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь
место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное
такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не
привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел
чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции
переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное
оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на
которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция
другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и
второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И
вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не
действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше
всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при
условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же
такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для
упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод
рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о
бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы
должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории
приращения и разности функций, переменная величина которой получает
приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в
дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в
соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке
зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в
которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,
которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых
дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении
дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем
примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела
отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не
вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более
подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и
содержится указанная выше истинная категория качественного определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-
следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот
предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать
некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.
д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к
такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь
место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное
такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не
привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел
чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции
переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное
оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на
которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция
другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и
второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И
вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не
действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше
всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при
условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же
такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304