Однако [здесь] нетрудно обнаружить
направляющий принцип, а именно имманентный принцип аналитического тождества,
которое в разнящемся выступает в виде равенства; движение вперед состоит
здесь в сведении неравного ко все большему равенству. Чтобы привести пример
из первых элементарных действий, укажем, что сложение есть сочетание
совершенно случайно неравных чисел, умножение же, напротив,-равных чисел, а
затем еще следует отношение равенства между численностью и единицей,
степенное отношение.
А так как определенность предмета и отношений есть положенная
определенность, то дальнейшие действия над ними также совершенно аналитичны,
и в аналитической науке имеются поэтому не столько доказуемые положения,
сколько задачи. Аналитическое положение содержит задачу уже как решенную
самое по себе, и совершенно внешнее различие, присущее тем двум сторонам,
которые оно полагает равными друг другу, столь несущественно, что такое
положение должно было бы показаться тривиальным тождеством. Кант, правда,
объявил положение 5 + 7=12 синтетическим на том основании, что одно и то же
[содержание ] на одной стороне представлено в форме нескольких чисел, 5 и 7,
а на другой стороне-в форме одного числа, 12.67 Однако если аналитическое
[положение] не должно означать совершенно абстрактно тождественное и
тавтологическое 12=12 и в нем вообще должно быть какое-то движение вперед,
то должно быть налицо какое-нибудь различие, но такое, которое не
основывается ни на каком качестве, ни на какой определенности рефлексии и
еще в меньшей мере на определенности понятия. 5+7 и 12 - это совершенно одно
и то же содержание;
первая сторона равенства выражает также требование, чтобы 5 и 7 были
соединены в одном выражении; а это означает, что, подобно тому как 5 есть
нечто сосчитанное, причем прекращение счета на этом числе было совершенно
произвольным и счет мог бы с таким же успехом быть продолжен, так следует
теперь считать дальше таким же образом, чтобы число прибавляемых единиц
равнялось 7. 12 есть, следовательно, результат 5 и 7 и такого действия,
которое, положенное уже по своей природе, тоже есть совершенно внешнее,
чуждое мысли дело и потому может быть совершено также машиной. Здесь нет ни
малейшего перехода к чему-то иному; это простое продолжение, т. е.
повторение того же действия, в результате которого получились 5
и 7Доказательство такого положения - оно требовало бы доказательства,
если бы оно было синтетическим, - состояло бы лишь в действии определенного
7-ью дальнейшего счета, начиная с 5-ти, и в познании совпадения результата
этого дальнейшего счета с тем, чтб вообще называется 12-ью и чтб в свою
очередь есть не что иное, как именно сам этот определенный дальнейший счет.
Поэтому вместо формы положения сразу же выбирают форму задачи, требования
действий, а именно высказывают лишь одну сторону уравнения, которое
составило бы положение, другая же сторона уравнения должна быть найдена.
Задача заключает в себе содержание и указывает на определенное действие,
которое должно быть произведено над этим содержанием. Действие не ограничено
каким-либо неподатливым, наделенным специфическими отношениями материалом,
оно внешнее, субъективное действие, и материал безразлично принимает те
определения, которые оно в нем полагает. Вся разница между поставленными в
задаче условиями и полученным в решении результатом состоит лишь в том, что
в этом результате действительно осуществлено соединение или разъединение тем
определенным способом, какой был указан в задаче.
Поэтому в высшей степени излишне применять здесь форму геометрического
метода, относящегося к синтетическим положениям, и кроме решения задачи
присоединять к ней еще и доказательство. Это доказательство может выразить
только ту тавтологию, что решение правильно, потому что действие произведено
так, как было задано. Если задача требует сложить несколько чисел, то
решение состоит в том, что их складывают; доказательство показывает, что
решение правильно, потому что было задано сложить и было произведено
сложение. Если задача заключает в себе более сложные определения и действия,
скажем, например, перемножить десятичные числа, а решение дает лишь
механический прием и ничего больше, то в этом случае доказательство,
пожалуй, требуется, но это доказательство может быть только анализом тех
определений и действий, из которых решение получается само собой. Из-за
того, что решение как механический прием таким образом отделяется от
доказательства как вспоминания природы подлежащего действия предмета и
самого действия, как раз и утрачивается преимущество аналитической задачи,
заключающееся в том, что построение выводится из задачи непосредственно и
потому само собой может быть представлено как рассудочное построение;
действуя же иначе, построению явно сообщают недостаток, свойственный
синтетическому методу. - В высшем анализе, где вместе со степенным
отношением появляются главным образом качественные и зависящие от понятийных
определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы, несомненно,
содержат синтетические определения, там приходится брать в качестве средних
членов не те определения и отношения, которые непосредственно указаны
задачей или теоремой, а другие. Однако и эти вспомогательные определения
должны иметь свое основание в том, что здесь учитывается и развивается одна
сторона задачи или теоремы; синтетический вид они имеют исключительно
потому, что в самой задаче или теореме эта сторона уже не указывается. -
Например, задача найти сумму степеней корней уравнения решается посредством
рассмотрения и затем соединения функций, служащих в уравнении коэффициентами
корней. Вспомогательное определение функций коэффициентов и соединения этих
функций уже не выражено в задаче, в прочих же отношениях само развертывание
совершенно аналитично. Подобным же образом решение уравнения хm - 1 = 0 с
помощью синусов, а также имманентное, найденное, как известно, Гауссом
алгебраическое решение посредством рассмотрения остатка от деления xm-1 - 1
на т и так называемых первообразных корней - одно из важнейших
совершенствовании анализа в новейшее время - есть синтетическое решение, так
как вспомогательные определения - синусы или рассмотрение остатков - не
определения самой задачи.
О природе анализа, который рассматривает так называемые бесконечные
разности переменных величин, [т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
направляющий принцип, а именно имманентный принцип аналитического тождества,
которое в разнящемся выступает в виде равенства; движение вперед состоит
здесь в сведении неравного ко все большему равенству. Чтобы привести пример
из первых элементарных действий, укажем, что сложение есть сочетание
совершенно случайно неравных чисел, умножение же, напротив,-равных чисел, а
затем еще следует отношение равенства между численностью и единицей,
степенное отношение.
А так как определенность предмета и отношений есть положенная
определенность, то дальнейшие действия над ними также совершенно аналитичны,
и в аналитической науке имеются поэтому не столько доказуемые положения,
сколько задачи. Аналитическое положение содержит задачу уже как решенную
самое по себе, и совершенно внешнее различие, присущее тем двум сторонам,
которые оно полагает равными друг другу, столь несущественно, что такое
положение должно было бы показаться тривиальным тождеством. Кант, правда,
объявил положение 5 + 7=12 синтетическим на том основании, что одно и то же
[содержание ] на одной стороне представлено в форме нескольких чисел, 5 и 7,
а на другой стороне-в форме одного числа, 12.67 Однако если аналитическое
[положение] не должно означать совершенно абстрактно тождественное и
тавтологическое 12=12 и в нем вообще должно быть какое-то движение вперед,
то должно быть налицо какое-нибудь различие, но такое, которое не
основывается ни на каком качестве, ни на какой определенности рефлексии и
еще в меньшей мере на определенности понятия. 5+7 и 12 - это совершенно одно
и то же содержание;
первая сторона равенства выражает также требование, чтобы 5 и 7 были
соединены в одном выражении; а это означает, что, подобно тому как 5 есть
нечто сосчитанное, причем прекращение счета на этом числе было совершенно
произвольным и счет мог бы с таким же успехом быть продолжен, так следует
теперь считать дальше таким же образом, чтобы число прибавляемых единиц
равнялось 7. 12 есть, следовательно, результат 5 и 7 и такого действия,
которое, положенное уже по своей природе, тоже есть совершенно внешнее,
чуждое мысли дело и потому может быть совершено также машиной. Здесь нет ни
малейшего перехода к чему-то иному; это простое продолжение, т. е.
повторение того же действия, в результате которого получились 5
и 7Доказательство такого положения - оно требовало бы доказательства,
если бы оно было синтетическим, - состояло бы лишь в действии определенного
7-ью дальнейшего счета, начиная с 5-ти, и в познании совпадения результата
этого дальнейшего счета с тем, чтб вообще называется 12-ью и чтб в свою
очередь есть не что иное, как именно сам этот определенный дальнейший счет.
Поэтому вместо формы положения сразу же выбирают форму задачи, требования
действий, а именно высказывают лишь одну сторону уравнения, которое
составило бы положение, другая же сторона уравнения должна быть найдена.
Задача заключает в себе содержание и указывает на определенное действие,
которое должно быть произведено над этим содержанием. Действие не ограничено
каким-либо неподатливым, наделенным специфическими отношениями материалом,
оно внешнее, субъективное действие, и материал безразлично принимает те
определения, которые оно в нем полагает. Вся разница между поставленными в
задаче условиями и полученным в решении результатом состоит лишь в том, что
в этом результате действительно осуществлено соединение или разъединение тем
определенным способом, какой был указан в задаче.
Поэтому в высшей степени излишне применять здесь форму геометрического
метода, относящегося к синтетическим положениям, и кроме решения задачи
присоединять к ней еще и доказательство. Это доказательство может выразить
только ту тавтологию, что решение правильно, потому что действие произведено
так, как было задано. Если задача требует сложить несколько чисел, то
решение состоит в том, что их складывают; доказательство показывает, что
решение правильно, потому что было задано сложить и было произведено
сложение. Если задача заключает в себе более сложные определения и действия,
скажем, например, перемножить десятичные числа, а решение дает лишь
механический прием и ничего больше, то в этом случае доказательство,
пожалуй, требуется, но это доказательство может быть только анализом тех
определений и действий, из которых решение получается само собой. Из-за
того, что решение как механический прием таким образом отделяется от
доказательства как вспоминания природы подлежащего действия предмета и
самого действия, как раз и утрачивается преимущество аналитической задачи,
заключающееся в том, что построение выводится из задачи непосредственно и
потому само собой может быть представлено как рассудочное построение;
действуя же иначе, построению явно сообщают недостаток, свойственный
синтетическому методу. - В высшем анализе, где вместе со степенным
отношением появляются главным образом качественные и зависящие от понятийных
определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы, несомненно,
содержат синтетические определения, там приходится брать в качестве средних
членов не те определения и отношения, которые непосредственно указаны
задачей или теоремой, а другие. Однако и эти вспомогательные определения
должны иметь свое основание в том, что здесь учитывается и развивается одна
сторона задачи или теоремы; синтетический вид они имеют исключительно
потому, что в самой задаче или теореме эта сторона уже не указывается. -
Например, задача найти сумму степеней корней уравнения решается посредством
рассмотрения и затем соединения функций, служащих в уравнении коэффициентами
корней. Вспомогательное определение функций коэффициентов и соединения этих
функций уже не выражено в задаче, в прочих же отношениях само развертывание
совершенно аналитично. Подобным же образом решение уравнения хm - 1 = 0 с
помощью синусов, а также имманентное, найденное, как известно, Гауссом
алгебраическое решение посредством рассмотрения остатка от деления xm-1 - 1
на т и так называемых первообразных корней - одно из важнейших
совершенствовании анализа в новейшее время - есть синтетическое решение, так
как вспомогательные определения - синусы или рассмотрение остатков - не
определения самой задачи.
О природе анализа, который рассматривает так называемые бесконечные
разности переменных величин, [т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304