так, для выпрямления кривой
приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные
выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого
произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще
принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так
называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих
поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от
бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов,
из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление -
это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального
исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального
исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и
производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности
проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для
разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые
подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей
как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого
математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение
первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения,
приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми
линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными
измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь
качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким
образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то
меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма
приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons" ["развернем в ряд"]
снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения
имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из
анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко
определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что
функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из
архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на
перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет
бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого
другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что
указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой
больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных
в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими
точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого
архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит
изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое
основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование
продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые
каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит
лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все
более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же
получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из
названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть
первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член
которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной
функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения
этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего
отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого
конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых
методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о
том, что определенным количеством как определенным количеством таких
определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и
не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто
отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее
разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,
и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные
выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого
произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще
принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так
называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих
поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от
бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов,
из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление -
это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального
исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального
исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и
производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности
проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для
разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые
подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей
как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого
математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение
первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения,
приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми
линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными
измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь
качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким
образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то
меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма
приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons" ["развернем в ряд"]
снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения
имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из
анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко
определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что
функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из
архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на
перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет
бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого
другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что
указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой
больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных
в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими
точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого
архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит
изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое
основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование
продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые
каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит
лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все
более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же
получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из
названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть
первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член
которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной
функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения
этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего
отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого
конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых
методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о
том, что определенным количеством как определенным количеством таких
определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и
не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто
отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее
разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,
и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304