Эти два
определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей
общеизвестной форме.
2 1 Дробь - может быть выражена как 0,285714...., как
1 + а + а2 + а3 и т. д. Таким образом, она дана как бесконечный ряд; сама
дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если сравним
между собой эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд,
представляет ее уже не как отношение, а с той стороны, что она определенное
количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к
другому, - как некоторая численность. - Что величины, которые должны
составить дробь как некую численность, сами в свою очередь состоят из
десятичных дробей, стало быть, сами состоят из отношений, - это не имеет
здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы, этих
величин, а не их, поскольку они конституируют численность; ведь и состоящее
из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по своей
сути численностью, и не обращается внимания на то, что она состоит из
произведений некоторых чисел на число десять и его степени. Не важно здесь и
то, что имеются другие 2 дроби, нежели взятая в качестве примера дробь ,
которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда;
однако каждая из них может быть изображена как такой ряд в числовой системе
другой единицы.
Так как в бесконечном ряде, который должен представлять дробь как
численность, исчезает та ее сторона, что она отношение, то исчезает и та
сторона, что она, как показано выше, в самой себе имеет бесконечность. Но
эта бесконечность вошла другим способом, а именно сам ряд бесконечен.
Какова эта бесконечность ряда - это явствует само собой; она дурная
бесконечность прогресса. Ряд содержит и представляет следующее противоречие:
нечто, будучи отношением и имея внутри себя качественную природу,
изображается как лишенное отношений, просто как определенное количество, как
численность. Следствием этого [противоречия] оказывается то, что в
численности, выражаемой в ряде, всегда чего-то недостает, так что для того,
чтобы достигнуть требуемой определенности, всегда нужно выходить за пределы
того, что положено. Закон этого продвижения известен; он заключается в
определении определенного количества, содержащемся в дроби, и в природе
формы, в которой это определение должно быть выражено. Можно, правда,
продолжая ряд, сделать численность столь точной, сколь это нужно. Однако
изображение [численности ] посредством ряда всегда остается лишь
долженствованием; оно обременено неким потусторонним, которое не может быть
снято, так как попытка выразить в виде численности то, что основано на
качественной определенности, есть постоянное противоречие.
В этом бесконечном ряде действительно имеется та неточность, которая в
истинном математическом бесконечном встречается лишь как видимость. Не
следует смешивать эти два вида математического бесконечного, точно так же
как не следует смешивать оба вида философского бесконечного. Для изображения
истинного математического бесконечного сначала пользовались формой ряда, и в
новейшее время она опять была вызвана к жизни. Но она для него не
необходима. Напротив, как станет ясно из последующего, бесконечное
бесконечного ряда сущностно отличается от истинного математического
бесконечного. Скорее он уступает [в этом отношении] даже такому выражению,
как дробь.
А именно бесконечный ряд содержит дурную бесконечность, так как то, что
он должен выразить, остается долженствованием, а то, что он выражает,
обременено неисчезающим потусторонним и отличается от того, что должно быть
выражено. Он бесконечен не из-за положенных членов, а потому, что они
неполны, потому что иное, сущностно принадлежащее к ним, находится по ту
сторону их; то, что в нем есть, хотя бы положенных членов было сколь угодно
много, есть лишь конечное в собственном смысле этого слова, положенное как
конечное, т. е. как такое, что не есть то, чем оно должно быть. Напротив,
то, что называется конечным выражением или суммой такого ряда, безупречно;
оно полностью содержит то значение, которого ряд только ищет; потустороннее
возвращено из своего бегства; то, что этот ряд есть, и то, чем он должен
быть, уже не разделено, а есть одно и то же.
Различает их, если говорить точнее, то, что в бесконечном ряде
отрицательное находится вне его членов, которые имеются налицо, так как они
признаются лишь частями численности. Напротив, в конечном выражении, которое
есть отношение, отрицательное имманентно как определяемость сторон отношения
друг другом, которая есть возвращение в себя, соотносящееся с собой единство
как отрицание отрицания (обе стороны отношения даны лишь как моменты), и,
следовательно, имеет внутри себя определение бесконечности. - Таким образом,
обычно так называемая сумма, - или -,--- есть на самом деле отношение, и / 1
- а это так называемое конечное выражение есть истинно бесконечное выражение.
Бесконечный ряд есть на самом деле скорее сумма; его цель - то, что в себе
есть отношение, представить в форме некоторой суммы, и имеющиеся налицо
члены ряда даны не как члены отношения, а как члены агрегата. Он, далее,
есть скорее конечное выражение, ибо он несовершенный агрегат и остается по
своему существу чем-то недостаточным. По тому, что в нем имеется, он
определенный квант, но в то же время меньший, чем тот, которым он должен
быть; и то, чего ему недостает, также есть определенный квант; эта
недостающая часть есть на самом деле то, что называется в ряде бесконечным
только с той формальной стороны, что она есть нечто недостающее, некоторое
небытие; по своему содержанию она конечное определенное количество. Только
то, что налично в ряде, совокупно с тем, чего ему недостает, составляет
дробь, определенный квант, которым ряд также должен быть, но которым он не в
состоянии быть. - Слово "бесконечное" также и в сочетании "бесконечный ряд"
обычно кажется мнению чем-то возвышенным и величественным; это некоторого
рода суеверие, суеверие рассудка. Мы видели, что оно сводится скорее к
определению недостаточности.
Можно еще заметить, что то, что имеются такие бесконечные ряды, которые
не суммируются, - это в отношении формы ряда вообще обстоятельство внешнее и
случайное. Ряды эти содержат более высокий вид бесконечности, чем
суммирующиеся ряды, а именно несоизмеримость, или, иначе говоря,
невозможность представить содержащееся в них количественное отношение как
определенное количество, хотя бы в виде дроби.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей
общеизвестной форме.
2 1 Дробь - может быть выражена как 0,285714...., как
1 + а + а2 + а3 и т. д. Таким образом, она дана как бесконечный ряд; сама
дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если сравним
между собой эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд,
представляет ее уже не как отношение, а с той стороны, что она определенное
количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к
другому, - как некоторая численность. - Что величины, которые должны
составить дробь как некую численность, сами в свою очередь состоят из
десятичных дробей, стало быть, сами состоят из отношений, - это не имеет
здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы, этих
величин, а не их, поскольку они конституируют численность; ведь и состоящее
из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по своей
сути численностью, и не обращается внимания на то, что она состоит из
произведений некоторых чисел на число десять и его степени. Не важно здесь и
то, что имеются другие 2 дроби, нежели взятая в качестве примера дробь ,
которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда;
однако каждая из них может быть изображена как такой ряд в числовой системе
другой единицы.
Так как в бесконечном ряде, который должен представлять дробь как
численность, исчезает та ее сторона, что она отношение, то исчезает и та
сторона, что она, как показано выше, в самой себе имеет бесконечность. Но
эта бесконечность вошла другим способом, а именно сам ряд бесконечен.
Какова эта бесконечность ряда - это явствует само собой; она дурная
бесконечность прогресса. Ряд содержит и представляет следующее противоречие:
нечто, будучи отношением и имея внутри себя качественную природу,
изображается как лишенное отношений, просто как определенное количество, как
численность. Следствием этого [противоречия] оказывается то, что в
численности, выражаемой в ряде, всегда чего-то недостает, так что для того,
чтобы достигнуть требуемой определенности, всегда нужно выходить за пределы
того, что положено. Закон этого продвижения известен; он заключается в
определении определенного количества, содержащемся в дроби, и в природе
формы, в которой это определение должно быть выражено. Можно, правда,
продолжая ряд, сделать численность столь точной, сколь это нужно. Однако
изображение [численности ] посредством ряда всегда остается лишь
долженствованием; оно обременено неким потусторонним, которое не может быть
снято, так как попытка выразить в виде численности то, что основано на
качественной определенности, есть постоянное противоречие.
В этом бесконечном ряде действительно имеется та неточность, которая в
истинном математическом бесконечном встречается лишь как видимость. Не
следует смешивать эти два вида математического бесконечного, точно так же
как не следует смешивать оба вида философского бесконечного. Для изображения
истинного математического бесконечного сначала пользовались формой ряда, и в
новейшее время она опять была вызвана к жизни. Но она для него не
необходима. Напротив, как станет ясно из последующего, бесконечное
бесконечного ряда сущностно отличается от истинного математического
бесконечного. Скорее он уступает [в этом отношении] даже такому выражению,
как дробь.
А именно бесконечный ряд содержит дурную бесконечность, так как то, что
он должен выразить, остается долженствованием, а то, что он выражает,
обременено неисчезающим потусторонним и отличается от того, что должно быть
выражено. Он бесконечен не из-за положенных членов, а потому, что они
неполны, потому что иное, сущностно принадлежащее к ним, находится по ту
сторону их; то, что в нем есть, хотя бы положенных членов было сколь угодно
много, есть лишь конечное в собственном смысле этого слова, положенное как
конечное, т. е. как такое, что не есть то, чем оно должно быть. Напротив,
то, что называется конечным выражением или суммой такого ряда, безупречно;
оно полностью содержит то значение, которого ряд только ищет; потустороннее
возвращено из своего бегства; то, что этот ряд есть, и то, чем он должен
быть, уже не разделено, а есть одно и то же.
Различает их, если говорить точнее, то, что в бесконечном ряде
отрицательное находится вне его членов, которые имеются налицо, так как они
признаются лишь частями численности. Напротив, в конечном выражении, которое
есть отношение, отрицательное имманентно как определяемость сторон отношения
друг другом, которая есть возвращение в себя, соотносящееся с собой единство
как отрицание отрицания (обе стороны отношения даны лишь как моменты), и,
следовательно, имеет внутри себя определение бесконечности. - Таким образом,
обычно так называемая сумма, - или -,--- есть на самом деле отношение, и / 1
- а это так называемое конечное выражение есть истинно бесконечное выражение.
Бесконечный ряд есть на самом деле скорее сумма; его цель - то, что в себе
есть отношение, представить в форме некоторой суммы, и имеющиеся налицо
члены ряда даны не как члены отношения, а как члены агрегата. Он, далее,
есть скорее конечное выражение, ибо он несовершенный агрегат и остается по
своему существу чем-то недостаточным. По тому, что в нем имеется, он
определенный квант, но в то же время меньший, чем тот, которым он должен
быть; и то, чего ему недостает, также есть определенный квант; эта
недостающая часть есть на самом деле то, что называется в ряде бесконечным
только с той формальной стороны, что она есть нечто недостающее, некоторое
небытие; по своему содержанию она конечное определенное количество. Только
то, что налично в ряде, совокупно с тем, чего ему недостает, составляет
дробь, определенный квант, которым ряд также должен быть, но которым он не в
состоянии быть. - Слово "бесконечное" также и в сочетании "бесконечный ряд"
обычно кажется мнению чем-то возвышенным и величественным; это некоторого
рода суеверие, суеверие рассудка. Мы видели, что оно сводится скорее к
определению недостаточности.
Можно еще заметить, что то, что имеются такие бесконечные ряды, которые
не суммируются, - это в отношении формы ряда вообще обстоятельство внешнее и
случайное. Ряды эти содержат более высокий вид бесконечности, чем
суммирующиеся ряды, а именно несоизмеримость, или, иначе говоря,
невозможность представить содержащееся в них количественное отношение как
определенное количество, хотя бы в виде дроби.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304