поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде
счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим
действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным
арифметическим действием), причем само определение действия независимо от
этой противоположности.
После этих замечаний укажем виды исчисления. 1. Первое порождение числа -
это сочетание "многих", как таковых, т. е. "многих", каждое из которых
положено лишь как "одно", - нумерование. Так как "одни" внешни друг другу,
то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого
порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре,
пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли
сочетано то или иное количество ["одних"], есть нечто случайное,
произвольное, так как граница внешняя. - Различие между численностью и
единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит
основой системы чисел-двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится
в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна
снова и снова быть взята как единица.
Возникшие посредством нумерования числа снова подвергаются нумерованию;
поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого
соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их
величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это
- сложение. - Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на
пальцах или как-нибудь иначе еще 5 "одних"; результат этого действия
сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет
ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на
пальцах и т. д., что 7х5 = 35, что к одной семерке прибавляется еще одна
семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От
этого труда - считать, находить суммы, умножать - навсегда избавила готовая
таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
Кант рассматривает (во Введении к "Критике чистого разума", раздел V)
положение 7+5-12 как синтетическое положение. "На первый взгляд, - говорит
он, - может показаться (конечно!), что это положение 7+5-12 чисто
аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и
пяти" Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что
эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым
понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока
не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными "одни", численность
которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее
известное название двенадцати. "Однако, - продолжает Кант, - присматриваясь
ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение
этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число,
которое охватывает оба слагаемых". "Сколько бы я ни расчленял свое понятие
такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12". При переходе от указаний
задачи к результату сумма действительно не мыслится, понятие не
расчленяется. "Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи
созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы числа
пять, данного в созерцании, к понятию семи" а0, - прибавляет он. Пять
действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно внешняя сочетанность
произвольно повторявшейся мысли, "одного"; но 7 точно так же не понятие;
здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5
означает чужцое понятия соединение этих двух чисел; такое столь чуждое
понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны
пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с таким же правом,
как и нумерование, начинающее с "одного", - синтезированием, которое,
однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело
искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого, что не было бы
совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к требованию вообще
нумеровать, как требование продолжить прямую линию к требованию провести
прямую линию.
Столь же бессодержательно, как выражение "синтезирование", и определение,
что это синтезирование совершается a priori. Правда, счет не есть
определение ощущений, единственно которое, согласно кантовскому определению
созерцания, и остается на долю a posteriori, и счет действительно есть
занятие на почве абстрактного созерцания, т. е. такого, которое определено
категорией "одного" и при котором абстрагируются как от всех остальных
определений ощущений, так и от понятий. "A priori" - это вообще нечто лишь
смутное. Определение эмоций - влечение, склонность и т. д. - в такой же мере
имеет в себе момент априорности, в какой пространство и время как
существующие, [т. е. ] временное и пространственное, определены a
posteriori.
В связи с этим можно прибавить, что в утверждении Канта о синтетическом
характере основоположений чистой геометрии также нет ничего основательного.
Указывая, что многие из них действительно аналогичны, он в доказательство
представления о синтетичности других приводит только одну аксиому - что
прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. "В самом деле,
мое понятие прямой содержит только качество, но ничего не говорит о
количестве. Следовательно, понятие кратчайшего [расстояния] целиком
присоединяется извне, и никаким расчленением не может быть извлечено из
понятия прямой линии. Поэтому здесь необходимо прибегать к помощи
созерцания, посредством которого только и возможен синтез". - Но и здесь
дело идет вовсе не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а она уже
есть нечто пространственное, созерцаемое. Определение (или, если угодно,
понятие) прямой линии ведь и состоит только в том, что она безусловно
простая линия, т. е. что в своем выхождении вовне себя (в так называемом
движении точки) она безусловно соотносится с собой, что в ее протяжении не
положено никакой разницы определения, никакого соотношения с какой-либо
другой точкой или линией вне ее; она безусловно простое направление внутри
себя. Это простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно
дать аналитическую дефиницию прямой линии, то это только из-за таких
определении, как простота или соотношение с самой собой, и лишь потому, что
при определении рефлексия сначала имеет дело главным образом с некоей
множественностью, с определением через иное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304