ведь нуль
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,
хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее
положительном значении качественных определений количества, которые, если
хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)
замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.
- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,
и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в
указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]
определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые
величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в
отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это
обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя
арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не
значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 Ї 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как
рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды]
переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе
конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти
бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами
после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных
величин.
Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти
затруднения.
Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания
новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь
привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно
геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать
на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например
естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более
понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть
строгости доказательств древних.
Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а
именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором
заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем
заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще
относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод
дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем
более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма,
Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том
применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и
интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени,
только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы
покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать,
единственный интерес. -
Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести
лишь самое простое соображение:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,
хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее
положительном значении качественных определений количества, которые, если
хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)
замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.
- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,
и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в
указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]
определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые
величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в
отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это
обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя
арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не
значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 Ї 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как
рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды]
переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе
конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти
бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами
после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных
величин.
Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти
затруднения.
Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания
новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь
привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно
геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать
на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например
естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более
понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть
строгости доказательств древних.
Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а
именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором
заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем
заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще
относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод
дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем
более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма,
Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том
применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и
интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени,
только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы
покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать,
единственный интерес. -
Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести
лишь самое простое соображение:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304