скорее лишь
эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть
их истина.
То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или
меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по
разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных
разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше
возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об
определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что
определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше
никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит
наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное
количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне
своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное
бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как
качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому
указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как
моменты сравнения, отношения.
Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике
относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли
о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы
не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были
прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.
Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я
оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении
и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий),
так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно,
смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким
образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.), что он понимает
под ними не неделимые - форма, которой пользовались до него математики
Кавальери и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, -
а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения
определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого,
говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть
никакого
последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а
когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих
величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после
их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum
evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть
отношение, вместе с которым они возникают.
В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь
объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение,
что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря,
лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не
показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает
внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном
понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении
бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь
себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает величины в их исчезновении, т. е.
величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними,
кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения.
Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества
сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было
определенным количеством; предел отношения величин - это то, в чем оно есть
и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное
количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как
качественное отношение количества и его члены - также как качественные
моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства,
что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать,
что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от
абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по
себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, что
было бы "одним", безотносительным.
Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того,
напоминает, что последние отношения - это не отношения последних величин, а
только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе,
чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не
выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы,
как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения
последнего отношения устранено представление и о безразличном,
безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не
нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает
определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного
прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого
прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие
такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент
отношения.
Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных
количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions
sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона
непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то
отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную
природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность
определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе,
непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так
продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает
лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное
движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение
конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное
бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и
сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет
отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного
определения, т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть
их истина.
То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или
меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по
разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных
разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше
возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об
определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что
определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше
никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит
наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное
количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне
своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное
бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как
качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому
указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как
моменты сравнения, отношения.
Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике
относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли
о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы
не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были
прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.
Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я
оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении
и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий),
так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно,
смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким
образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.), что он понимает
под ними не неделимые - форма, которой пользовались до него математики
Кавальери и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, -
а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения
определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого,
говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть
никакого
последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а
когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих
величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после
их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum
evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть
отношение, вместе с которым они возникают.
В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь
объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение,
что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря,
лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не
показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает
внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном
понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении
бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь
себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает величины в их исчезновении, т. е.
величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними,
кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения.
Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества
сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было
определенным количеством; предел отношения величин - это то, в чем оно есть
и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное
количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как
качественное отношение количества и его члены - также как качественные
моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства,
что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать,
что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от
абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по
себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, что
было бы "одним", безотносительным.
Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того,
напоминает, что последние отношения - это не отношения последних величин, а
только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе,
чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не
выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы,
как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения
последнего отношения устранено представление и о безразличном,
безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не
нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает
определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного
прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого
прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие
такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент
отношения.
Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных
количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions
sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона
непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то
отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную
природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность
определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе,
непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так
продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает
лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное
движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение
конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное
бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и
сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет
отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного
определения, т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304