Излагая эти
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой. Но в применении к пространственным предметам
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе
определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний
может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе
определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в
обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего
все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть
полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается
честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному
способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,
как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это
очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен
прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -
длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность
круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из
которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного
треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму
дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того
определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой. Но в применении к пространственным предметам
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе
определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний
может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе
определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в
обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего
все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть
полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается
честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному
способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,
как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это
очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен
прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -
длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность
круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из
которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного
треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму
дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того
определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304