Следствиями основного
определения являются определения других связанных с координатами прямых
линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими
линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей
которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники,
составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего
определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от
первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к
производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми
или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий
и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.
Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального
исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение
лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие,
оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу,
учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи
высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того,
что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также
свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья"
(lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы
составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как
совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики
прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба
арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые
впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в
характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила
предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания
уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения
(etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те
члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе
первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения
из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить
приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной.
Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более
школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение
пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и
под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой
определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей
своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;
приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения
наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех
же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того
времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,
и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором
отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а
именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не
метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так
называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также
воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;
обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,
занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия
от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.
Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в
нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных
величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим
меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло
лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой
функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax - х2 = у2
имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение
x/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,
напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р
: 2у или а - х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно
отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим
знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное
отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,
во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,
находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а
именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение
ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим
способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,
как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое
отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему
ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это
придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -
дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения
координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же
приращения касательной характеристический треугольник, дабы
пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,
вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто
эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако
это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше
форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием
для допущения характеристического треугольника и указанной
пропорциональности.
Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на
подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,
так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,
которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать
каждую из этих сторон отдельно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
определения являются определения других связанных с координатами прямых
линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими
линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей
которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники,
составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего
определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от
первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к
производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми
или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий
и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.
Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального
исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение
лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие,
оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу,
учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи
высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того,
что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также
свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья"
(lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы
составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как
совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики
прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба
арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые
впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в
характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила
предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания
уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения
(etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те
члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе
первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения
из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить
приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной.
Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более
школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение
пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и
под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой
определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей
своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;
приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения
наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех
же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того
времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,
и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором
отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а
именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не
метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так
называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также
воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;
обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,
занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия
от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.
Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в
нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных
величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим
меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло
лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой
функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax - х2 = у2
имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение
x/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,
напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р
: 2у или а - х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно
отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим
знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное
отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,
во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,
находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а
именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение
ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим
способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,
как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое
отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему
ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это
придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -
дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения
координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же
приращения касательной характеристический треугольник, дабы
пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,
вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто
эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако
это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше
форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием
для допущения характеристического треугольника и указанной
пропорциональности.
Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на
подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,
так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,
которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать
каждую из этих сторон отдельно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304