исходя из того же довода относительно
незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же
отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону
треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и
потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения
возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой
конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к
конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при
таком способе действия во всей своей силе.
Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath.
phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им
остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания
произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его
бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то
произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять
первое,
то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя
подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала,
связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу
наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых
членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем
приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом
основании, что они малы;
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания
существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам
торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом
ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался
указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов
[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на
основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены
ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий
качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость
способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее
утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее
изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое
приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное
значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или
ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их
нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и
которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, -
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых
членов по сравнению с другими.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же
отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону
треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и
потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения
возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой
конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к
конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при
таком способе действия во всей своей силе.
Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath.
phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им
остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания
произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его
бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то
произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять
первое,
то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя
подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала,
связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу
наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых
членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем
приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом
основании, что они малы;
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания
существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам
торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом
ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался
указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов
[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на
основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены
ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий
качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость
способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее
утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее
изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое
приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное
значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или
ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их
нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и
которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, -
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых
членов по сравнению с другими.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304