Следовательно, здесь вообще не идут дальше
противоречия, которое содержится в величине, но которое распределено между
объектом и субъектом, так что на долю первого выпадает ограниченность, а на
долю второго - выхождение за каждую постигаемую им определенность, в дурное
бесконечное.
Выше же было сказано, что определение математического бесконечного и
притом так, как им пользуются в высшем анализе, соответствует понятию
истинного бесконечного; теперь следует сопоставить эти два определения в
более развернутом виде. - Что касается прежде всего истинно бесконечного
определенного количества, то оно определилось как в самом себе бесконечное;
оно таково, поскольку, как мы выяснили, и конечное определенное
количество или определенное количество вообще, и его потустороннее - дурное
бесконечное - одинаково сняты. Снятое определенное количество возвратилось
тем самым к простоте и к соотношению с самим собой, но не только так, как
экстенсивное определенное количество, переходившее в интенсивное
определенное количество, которое имеет свою определенность в каком-то
внешнем многообразии лишь в себе, однако, как полагают, безразлично к этому
многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество скорее
содержит, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в самом себе. В
этом случае оно уже не конечное определенное количество, не определенность
величины, которая имела бы наличное бытие как определенное количество, оно
нечто простое и потому дано лишь как момент; оно определенность величины в
качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как
некоторая качественная определенность. - Таким образом, как момент оно
находится в сущностном единстве со своим иным, дано лишь как определенное
этим своим иным, т. е. оно имеет значение лишь в связи с чем-то находящимся
с ним в отношении. Вне этого отношения оно нуль, между тем именно
определенное количество, как таковое, безразлично, как полагают, к
отношению, хотя оно и есть в нем непосредственное неподвижное определение. В
отношении оно только как момент не есть нечто само по себе безразличное; в
бесконечности как для-себя-бытии оно, будучи в то же время некоторой
количественной определенностью, дано лишь как некоторое "для-одного".
Понятие бесконечного, как оно здесь изложено абстрактно, окажется лежащим
в основе математического бесконечного, и оно само станет более ясным, когда
рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента
отношения, начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть также
определенное количество, как таковое, и кончая высшей, где оно приобретает
значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.
Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении, в котором
оно дробное число. Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное
количество, как 1, 2, 3 и т. д.;
она, правда, обычное конечное число, однако не непосредственное, как
целые числа, а как дробь опосредствованно определенное двумя другими
числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и
единица есть некоторая численность. Но взятые абстрагирование от этого их
более точного определения относительно друг друга и рассматриваемые лишь в
соответствии с тем, что в качественном соотношении, в котором они здесь
находятся, происходит с ними как с определенными количествами, 2 и 7 помимо
этого соотношения суть безразличные определенные количества; но выступая
здесь как моменты, друг друга и тем самым некоторого третьего (того
определенного количества, которое называется показателем), они имеют
значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности относительно друг
друга. Поэтому можно вместо них с таким же успехом поставить также 4 и 14
или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают
приобретать качественный характер. Если бы 2 и 7 имели значение только как
определенные количества, то одно было бы просто 2, а другое 7; 4, 14, б, 21
и т. д. - нечто совершенно иное, чем эти числа, и, поскольку они лишь
непосредственные определенные количества, одни из них не могут быть
подставлены вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны
той определенности, что они такие определенные количества, их безразличная
граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент
бесконечности, ибо они не только уже не то, что они суть, но сохраняется их
количественная определенность, однако как в себе сущая качественная
определенность, а именно согласно тому, что они значат в отношении. Они
могут быть заменены бесконечным множеством других чисел, так что
определенность отношения не изменяет величину дроби.
Но изображение бесконечности в числовой дроби несовершенно еще и потому,
что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они
обыкновенные безразличные определенные количества; их соотношение - то, что
они суть члены отношения и моменты, - есть для них нечто внешнее и
безразличное. И точно так же само их соотношение есть обычное определенное
количество, показатель отношения.
Буквы, которыми оперируют в общей арифметике, т. е. ближайшая
всеобщность, в которую возводятся числа, не обладают свойством иметь
определенную числовую величину; они лишь всеобщие знаки и неопределенные
возможности любой определенной величины. Дробь представляется поэтому более
подходящим выражением бесконечного, так как а и Ь, изъятые из их
соотношения, остаются неопределенными и не имеют особой им принадлежащей
величины, даже будучи отделены друг от друга. - Однако, хотя эти буквы
положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они
какое-то конечное определенное количество. Так как они хотя и всеобщее
представление, но лишь об определенном числе, то для них одинаково
безразлично то, что они находятся в отношении, и вне этого отношения они
сохраняют то же самое значение.
Если присмотримся еще пристальнее к тому, что имеется в отношении, то
увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых, определенное
количество, но последнее есть, во-вторых, не непосредственное определенное
количество, а такое, которое содержит качественную противоположность; в то
же время оно остается в отношении тем определенным, безразличным квантом
благодаря тому, что оно возвращается в себя из "своего инобытия, из
противоположности и, следовательно, есть также нечто бесконечное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
противоречия, которое содержится в величине, но которое распределено между
объектом и субъектом, так что на долю первого выпадает ограниченность, а на
долю второго - выхождение за каждую постигаемую им определенность, в дурное
бесконечное.
Выше же было сказано, что определение математического бесконечного и
притом так, как им пользуются в высшем анализе, соответствует понятию
истинного бесконечного; теперь следует сопоставить эти два определения в
более развернутом виде. - Что касается прежде всего истинно бесконечного
определенного количества, то оно определилось как в самом себе бесконечное;
оно таково, поскольку, как мы выяснили, и конечное определенное
количество или определенное количество вообще, и его потустороннее - дурное
бесконечное - одинаково сняты. Снятое определенное количество возвратилось
тем самым к простоте и к соотношению с самим собой, но не только так, как
экстенсивное определенное количество, переходившее в интенсивное
определенное количество, которое имеет свою определенность в каком-то
внешнем многообразии лишь в себе, однако, как полагают, безразлично к этому
многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество скорее
содержит, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в самом себе. В
этом случае оно уже не конечное определенное количество, не определенность
величины, которая имела бы наличное бытие как определенное количество, оно
нечто простое и потому дано лишь как момент; оно определенность величины в
качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как
некоторая качественная определенность. - Таким образом, как момент оно
находится в сущностном единстве со своим иным, дано лишь как определенное
этим своим иным, т. е. оно имеет значение лишь в связи с чем-то находящимся
с ним в отношении. Вне этого отношения оно нуль, между тем именно
определенное количество, как таковое, безразлично, как полагают, к
отношению, хотя оно и есть в нем непосредственное неподвижное определение. В
отношении оно только как момент не есть нечто само по себе безразличное; в
бесконечности как для-себя-бытии оно, будучи в то же время некоторой
количественной определенностью, дано лишь как некоторое "для-одного".
Понятие бесконечного, как оно здесь изложено абстрактно, окажется лежащим
в основе математического бесконечного, и оно само станет более ясным, когда
рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента
отношения, начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть также
определенное количество, как таковое, и кончая высшей, где оно приобретает
значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.
Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении, в котором
оно дробное число. Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное
количество, как 1, 2, 3 и т. д.;
она, правда, обычное конечное число, однако не непосредственное, как
целые числа, а как дробь опосредствованно определенное двумя другими
числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и
единица есть некоторая численность. Но взятые абстрагирование от этого их
более точного определения относительно друг друга и рассматриваемые лишь в
соответствии с тем, что в качественном соотношении, в котором они здесь
находятся, происходит с ними как с определенными количествами, 2 и 7 помимо
этого соотношения суть безразличные определенные количества; но выступая
здесь как моменты, друг друга и тем самым некоторого третьего (того
определенного количества, которое называется показателем), они имеют
значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности относительно друг
друга. Поэтому можно вместо них с таким же успехом поставить также 4 и 14
или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают
приобретать качественный характер. Если бы 2 и 7 имели значение только как
определенные количества, то одно было бы просто 2, а другое 7; 4, 14, б, 21
и т. д. - нечто совершенно иное, чем эти числа, и, поскольку они лишь
непосредственные определенные количества, одни из них не могут быть
подставлены вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны
той определенности, что они такие определенные количества, их безразличная
граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент
бесконечности, ибо они не только уже не то, что они суть, но сохраняется их
количественная определенность, однако как в себе сущая качественная
определенность, а именно согласно тому, что они значат в отношении. Они
могут быть заменены бесконечным множеством других чисел, так что
определенность отношения не изменяет величину дроби.
Но изображение бесконечности в числовой дроби несовершенно еще и потому,
что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они
обыкновенные безразличные определенные количества; их соотношение - то, что
они суть члены отношения и моменты, - есть для них нечто внешнее и
безразличное. И точно так же само их соотношение есть обычное определенное
количество, показатель отношения.
Буквы, которыми оперируют в общей арифметике, т. е. ближайшая
всеобщность, в которую возводятся числа, не обладают свойством иметь
определенную числовую величину; они лишь всеобщие знаки и неопределенные
возможности любой определенной величины. Дробь представляется поэтому более
подходящим выражением бесконечного, так как а и Ь, изъятые из их
соотношения, остаются неопределенными и не имеют особой им принадлежащей
величины, даже будучи отделены друг от друга. - Однако, хотя эти буквы
положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они
какое-то конечное определенное количество. Так как они хотя и всеобщее
представление, но лишь об определенном числе, то для них одинаково
безразлично то, что они находятся в отношении, и вне этого отношения они
сохраняют то же самое значение.
Если присмотримся еще пристальнее к тому, что имеется в отношении, то
увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых, определенное
количество, но последнее есть, во-вторых, не непосредственное определенное
количество, а такое, которое содержит качественную противоположность; в то
же время оно остается в отношении тем определенным, безразличным квантом
благодаря тому, что оно возвращается в себя из "своего инобытия, из
противоположности и, следовательно, есть также нечто бесконечное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304